Monotonie und Schnittpunkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x) = x/a * e^ax
und die Funktion h mit h (x) = [mm] e^0,8*x [/mm] - 0,8*x
Beweisen sie, dass im intervall [mm] (0;\infty) [/mm] die Funktion h streng monoton steigen ist.
Zeigen sie, dass die Funktion f0,5 die Normalparabel nur im Koordinatenursprung schneidet. |
Bei der ersten Frage habe ich h´(x) gebildet.
h´(x) = 0,8e´0.8x - 0,8
Reicht es aus, wenn ich schreibe, dass 0,8e´0,8x immer größer null ist und deswegen es streng monoton steigt?
bei der 2.aufgabe habe ich f0,5 und [mm] x^2 [/mm] gleichgesetzt.
bekomme dann als schnittpunkte einmal x= 0 und x= 2 raus.
für x= 0 bekomme ich 2 mal die gleichen funktionswerte =0 raus und für 2 unterschiedliche funktionswerte.
Habe ich damit gezeigt, dass die sich im koordinatenursprung schneiden ?
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 18.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x) = x/a * e^ax
> und die Funktion h mit h (x) = [mm]e^0,8*x[/mm] - 0,8*x
das kann (fast) kein Mensch lesen, schreibe mal bitte genau, was da
steht
[mm] $\bruch{x}{a}e^{ax}$ [/mm] und [mm] $e^{0.8x}-0.8x$ [/mm] (klick einfach auf die Formeln!)?
> Beweisen sie, dass im intervall [mm](0;\infty)[/mm] die Funktion h
> streng monoton steigen ist.
>
> Zeigen sie, dass die Funktion f0,5 die Normalparabel nur im
> Koordinatenursprung schneidet.
> Bei der ersten Frage habe ich h´(x) gebildet.
> h´(x) = 0,8e´0.8x - 0,8
>
> Reicht es aus, wenn ich schreibe, dass 0,8e´0,8x immer
> größer null ist
Ja, aber Du solltest bei der Begründung noch etwas über [mm] $e^t$ ($t\;>\; [/mm] 0$) sagen,
damit das klarer ist!
(Edit: Ich meinte, dass $h'(x) > [mm] 0\,$ [/mm] für alle $x > 0,$ also [mm] $0.8e^{0.8x}-0.8 [/mm] > 0$ für alle $x > [mm] 0\,.$)
[/mm]
> und deswegen es streng monoton steigt?
Ja - wobei Du "es" durch ein weniger verfängliches Wort ersetzen solltest.
> bei der 2.aufgabe habe ich f0,5 und [mm]x^2[/mm] gleichgesetzt.
[mm] $x^2$? [/mm] Du meinst [mm] $h(x)\,,$ [/mm] oder?
> bekomme dann als schnittpunkte einmal x= 0 und x= 2 raus.
Vorrechnen bitte!
> für x= 0 bekomme ich 2 mal die gleichen funktionswerte =0
> raus und für 2 unterschiedliche funktionswerte.
> Habe ich damit gezeigt, dass die sich im
> koordinatenursprung schneiden ?
Naja, Du hättest, wenn das so stimmt, gezeigt: Notwendig für [mm] $f_a(x)=h(x)$ [/mm] (mit $a=0.5$)
ist $x=0$ oder [mm] $x=2\,.$
[/mm]
Wenn aber [mm] $f_{0.5}(2) \not=h(2)$ [/mm] gilt, dann hast Du gezeigt, dass sogar
nur noch $x=0$ für [mm] $f_{0.5}(x)=h(x)$ [/mm] gelten kann.
Indem Du gezeigt hast, dass dann
[mm] $f_{0.5}(0)=h(0)$
[/mm]
gilt, hast Du bewiesen, dass [mm] $f_{0.5}(x)=h(x)$ [/mm] dann und nur dann gilt, wenn [mm] $x=0\,.$
[/mm]
[mm] ($x=0\,$ [/mm] ist also auch hinreichend für [mm] $f_{0.5}(x)=h(x)\,.$)
[/mm]
Und die beiden Graphen, also der Graph von [mm] $f_{0.5}$ [/mm] und der Graph von [mm] $h\,,$
[/mm]
schneiden sich dann genau in
[mm] $\vektor{x=0\\h(0)}=\vektor{x=0\\f_{0.5}(0)} \in \IR^2,$
[/mm]
und dieser Vektor ist genau dann der Ursprung, wenn [mm] $h(0)=0\,$ [/mm] gilt.
Also:
Ja!
Allerdings solltest Du das hier am Besten mal vorrechnen (und erstmal die
Funktionen leserlich schreiben), damit wir auch sehen, dass wirklich
$x [mm] \in \{0,2\}$
[/mm]
notwendig für [mm] $h(x)=f_{0.5}(x)$ [/mm] ist. Ich bin jedenfalls gerade zu faul, das selbst
nachzurechnen, kontrolliere aber später ggf. gerne Deine Rechnung!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Di 18.02.2014 | | Autor: | canyakan95 |
Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche antwort.
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 18.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du beim gleichsetzen x=2 wirklich bekämst, würden sich die fkt da auch schneiden!
wie kommst du auf x=2? und wie zeigst du dann dass es keine weitere Lösung gibt. was du bisher hast reicht nicht!
daass 0,8e´0,8x >0 ist reicht nicht, es muß >0.8 sein, und das musst du begründen.
/ea stimmt ja nicht für alle x<0
Gruß leduart
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Könntest du mir vllt zeigen, wie man das mit der monotonie begründet. Wüsste nicht wie ich es sonst differenzieren soll.
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Hallo,
Du interessierst Dich für
[mm] h'(x)=0,8e^{0.8x} [/mm] - 0,8
[mm] =0.8*(e^{0.8x}-1)
[/mm]
im Intervall [mm] (0,\infty).
[/mm]
Die e-Funktion ist monoton wachsend, und es ist [mm] e^{0.8*0}=e^0=1.
[/mm]
Was weißt Du damit über den Faktor [mm] (e^{0.8x}-1)?
[/mm]
Und somit über h'(x)?
LG Angela
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Heist es dass h' x monoton am steigen ist.
Eine frage habe ich auch noch. Wenn man x= 0 wählt hat man ja in der klammer eig 0 stehen und im punkt x= 0. die steigung 0.
Das heißt doch ab dem punkt x= 0 die steigung nur noch steigt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 18.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Heist es dass h' x monoton am steigen ist.
Nein, das heißt es auf keinen Fall!
Du willst zeigen, dass die Funktion
[mm] $h(x)=e^{0.8x}-0.8x$
[/mm]
auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] streng monoton steigt.
Dazu betrachtest du die Ableitung
[mm] $h'(x)=0.8e^{0.8x}-0.8=0.8(e^{0.8x}-1)$
[/mm]
und willst zeigen, dass folgendes gilt:
$h'(x)>0$ für alle [mm] x\in(0,\infty).
[/mm]
Damit folgt dann nämlich, dass die Funktion $h$ (und nicht
$h'$ und schon gar nicht $h'(x)$) auf [mm] (0,\infty) [/mm] streng monoton steigt!
Angela hat dir nun den konkreten Tipp gegeben, dass die Exp-
onentialfunktion streng monoton steigt und folgendes gilt:
[mm] $e^{0.8*0}=1$.
[/mm]
Wir betrachten aber das Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] und mit der
strengen Monotonie der Exponentialfunktion gilt:
[mm] $e^{0.8x}>1$ [/mm] für alle [mm] x\in(0,\infty).
[/mm]
(Beachte, dass die Zahl $0$ nicht in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] liegt!)
(Außerdem gilt: [mm] $e^x>1$ [/mm] für alle [mm] x\in(0,\infty).)
[/mm]
Damit gilt für das zu betrachtende Intervall [mm] $(0,\infty)$:
[/mm]
[mm] $e^{0.8x}>1$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{0.8x}-1>0$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow 0.8(e^{0.8x}-1)>0
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] h'(x)>0$ für alle [mm] x\in(0,\infty)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] h$ ist streng monoton steigend auf [mm] (0,\infty).
[/mm]
> Eine frage habe ich auch noch. Wenn man x= 0 wählt hat man
> ja in der klammer eig 0 stehen und im punkt x= 0. die
> steigung 0.
Ja.
> Das heißt doch ab dem punkt x= 0 die steigung nur noch
> steigt, oder?
Deine Argumentation genügt dieser Aussage nicht. Die Funktion
$h$ ist auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] streng monoton steigend. Über die
einzelnen Steigungen auf dem Intervall kannst du so
nichts sagen. Nur eine wichtige Eigenschaft, welche?
Betrachte die Abbildung
[mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit $f(x)=x$.
Für die Ableitung gilt:
$f'(x)=1$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Das heißt, dass die Steigung der Funktion $f$ in jedem Punkt
Eins beträgt. Bei deiner Funktion $h$ gilt das nicht. Was du
dir aber noch klar machen könntest ist, dass folgendes gilt:
$h(x)>1$ für alle [mm] x\in(0,\infty)
[/mm]
Wieso folgt das aus der strengen Monotonie auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Di 18.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Heist es dass h' x monoton am steigen ist.
> Eine frage habe ich auch noch. Wenn man x= 0 wählt hat man
> ja in der klammer eig 0 stehen und im punkt x= 0. die
> steigung 0.
> Das heißt doch ab dem punkt x= 0 die steigung nur noch
> steigt, oder?
nein, wenn $f'(x) > [mm] 0\,$ [/mm] für alle $x > [mm] 0\,,$ [/mm] so bedeutet das nur, dass für jeden Punkt
[mm] $\vektor{x\\f(x)} \in \IR^2$ [/mm] mit $x > [mm] 0\,$
[/mm]
gilt: Die Tangente (an dem Graphen) durch diesen Punkt hat eine Steigung
$> [mm] 0\,.$
[/mm]
Dass "die Steigung steigt für alle $x > [mm] 0\,$", [/mm] wäre durch $f''(x) > 0$ gewährleistet.
(Das ist eine HINREICHENDE, aber nicht notwendige Bedingung dafür; siehe
Bsp. unten! Tipp dazu: [mm] $6*0=0\;\; {\!\!\not>}\;0$!)
[/mm]
Kann sein, dass das hier so ist (rechne es mal nach), aber das ist schon
etwas anderes: Es geht in Richtung "konvexe Funktionen".
P.S. Eine streng wachsende Funktion, "wo die Steigung nicht stets steigt",
kennst Du:
[mm] $f(x)=x^3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Di 18.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> wenn du beim gleichsetzen x=3 wirklich bekämst, würden
> sich die fkt da auch schneiden!
> wie kommst du auf x=2? und wie zeigst du dann dass es
> keine weitere Lösung gibt. was du bisher hast reicht
> nicht!
> daass 0,8e´0,8x >0 ist reicht nicht, es muß >0.8 sein,
> und das musst du begründen.
stimmt, ich korrigiere das mal in meiner Antwort, denn das hatte ich
falsch gelesen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:23 Di 18.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> wenn du beim gleichsetzen x=3 wirklich bekämst, würden
> sich die fkt da auch schneiden!
das stimmt nicht: Das würde so nur gelten, wenn wirklich äquivalent
umgeformt wurde.
Beispiel:
[mm] $\sqrt{x-1}=x-2$
[/mm]
[mm] $\red{\Longrightarrow}$ $x-1=(x-2)^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2-5x+3=0$
[/mm]
[mm] $\iff x=\frac{5}{2}\pm\sqrt{(5/2)^2-3}$
[/mm]
Hier sieht man ganz deutlich, dass nicht äquivalent umgeformt wurde.
Und ohne, dass das wirklich ein Vorwurf an die Schüler ist: Meistens
machen sie sich nur Gedanken bei Umformungen in die eine Richtung,
soll heißen:
Sie folgern aus
[mm] $f_{0.5}(x)=h(x)$
[/mm]
nur notwendige Bedingungen - ob diese hinreichend sind, wird meistens
"durch Kontrolle (einsetzen)" getestet!
(Ich wäre dankbar, wenn der ein oder andere Lehrer die Worte
"notwendig" und "hinreichend" bei solchen Aufgaben benutzt, und zwar
auch in korrekter Weise! "Test per Einsetzen" ist hier eigentlich die
"hinreichende Richtung"!)
Gruß,
Marcel
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