Monotonie zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Mi 18.05.2011 | | Autor: | studi_mr |
| Aufgabe | Hallo Leute,
ich hoffe ihr könnt mir bei der folgenden Aufgabe helfen,
bei der ich nicht so ganz weiß, wie ich daran gehen soll.
Im Prinzip soll ich eigentlich die Konvergenz der Folge [mm] a_n:=(1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] zeigen.
Dazu habe ich erstmal gezeigt, dass [mm] a_n [/mm] nach unten beschränkt ist:
wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0 und 1^(n+1) = 1 folgt [mm] a_n \ge [/mm] 1 |
Also nächstes wollte ich die Monotonie über Induktion zeigen:
IA: [mm] n=1\\
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{1})^2 [/mm] = 4 > [mm] (1+\bruch{1}{2})^3 [/mm] = 3,75
[mm] \\\\
[/mm]
IV: [mm] a_n [/mm] monoton fallend
[mm] \\
[/mm]
IS: zz: [mm] a_n \ge a_n+1 [/mm] also [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} \ge (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Nur jetzt weiß ich nicht genau wie ich das zeigen kann....
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Hallo,
die Monotonie dieser Folge zeigt man gewöhnlich durch den Nachweis
[mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1[/mm]
Dabei wird man an einer bestimmten Stelle die Bernoullische Ungleichung benötigen, um geeignet abszuschätzen. Als Hinweis möchte ich noch dazusagen, dass dieses Problem im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl dermaßen prominent ist, dass es sicherlich hier im Forum und auch sonst im Netz von Beweisen wimmeln dürfte...
Gruß, Diophant
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