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| Aufgabe | Beweise die Monotonie dieser Folge:
[mm] a_{n}=\bruch{4-n}{2n} [/mm] |
Das war die erste Aufgabe meiner Kursarbeit letzte Woche und ich bin auf ein suspektes Ergebnis gekommen, das ich jetzt gerne hinterfragen würde.. kann mir jemand meinen Fehler aufzeigen ?
[mm] \bruch{4-n}{2n}-\bruch{4-n+1}{2(n+1)}>0
[/mm]
[mm] \bruch{4-n}{2n}-\bruch{5-n}{2n+2}>0
[/mm]
(4-n)*(2n+2)-(5-n)*2n>0
[mm] 8n+8-2n^2-2n-10n+2n^2>0
[/mm]
-4n+8>0
-4n>-8
n>2
Ich muss ja auf eine wahre aussage kommen, aber irgendwie schaffe ich das nicht..
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Hallo Anopheles,
> Beweise die Monotonie dieser Folge:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{4-n}{2n}[/mm]
Erst einmal: ob die Folge monoton fallend oder steigend ist, ist nicht angegeben. Ein Blick auf [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] lässt vermuten, dass es sich um eine monoton fallende Folge handelt, aber das könnte sich ja noch irgendwann umkehren. Andererseits ist klar, dass der Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] bei [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] liegt. Es spricht also alles dafür, die Folge darauf zu untersuchen, ob sie wirklich monoton fallend ist.
Da strenge Monotonie nicht gefordert ist, wird die Untersuchung also ein [mm] \le [/mm] oder ein [mm] \ge [/mm] enthalten müssen...
> Das war die erste Aufgabe meiner Kursarbeit letzte Woche
> und ich bin auf ein suspektes Ergebnis gekommen, das ich
> jetzt gerne hinterfragen würde.. kann mir jemand meinen
> Fehler aufzeigen ?
>
> [mm]\bruch{4-n}{2n}-\bruch{4-n+1}{2(n+1)}>0[/mm]
Hier fehlt ein wesentliches Klammerpaar. Es müsste heißen:
[mm] \bruch{4-n}{2n}-\bruch{4-\blue{(}n+1\blue{)}}{2(n+1)}\blue{\ge}0
[/mm]
> [mm]\bruch{4-n}{2n}-\bruch{5-n}{2n+2}>0[/mm]
Mit der Korrektur oben wird das dann [mm] \bruch{4-n}{2n}-\bruch{3-n}{2(n+1)}\ge0
[/mm]
> (4-n)*(2n+2)-(5-n)*2n>0
$ [mm] (4-n)*(2n+2)-(3-n)*2n\ge0 [/mm] $
> [mm]8n+8-2n^2-2n-10n+2n^2>0[/mm]
$ [mm] 8n+8-2n^2-2n-6n+2n^2\ge0 [/mm] $
> -4n+8>0
$ [mm] 8\ge0 [/mm] $
> -4n>-8
>
> n>2
>
> Ich muss ja auf eine wahre aussage kommen, aber irgendwie
> schaffe ich das nicht..
Na, wenn Deine Rechnung richtig gewesen wäre, hättest Du doch eine schöne Aussage bekommen, nämlich dass die zu zeigende Ungleichung für n>2 wahr ist. Was will man mehr?
Richtig ist allerdings, dass die Ungleichung für alle n wahr ist, und ganz nebenbei erfährst Du auch, dass zwar nur Monotonie gefordert war, die Folge aber tatsächlich streng monoton fallend ist.
Und den Grenzwert habe ich oben auch schon genannt...
Grüße
reverend
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