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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
x²*LN x
Berechnen/Bestimmen sie:
- Definitionsbereich
- die Schnittpunkte der Achsen
- das Verhalten für x [mm] \to \infty
[/mm]
- das Monotonieverhalten
- das Krümmungsverhalten
- Extrem und Wendepunkte
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Hallo zusammen,
bisher habe ich folgende Lösungen:
Definitionsbereich: [mm] \IR [/mm] positiv
Schnittpunkte:
X-Achse: x² * ln x=0
x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
x=1 <-- Schnittpunkt x-Achse
y-Achse:
x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
Verhalten für x [mm] \to \infty
[/mm]
Für x [mm] \to \infty [/mm] gilt f(x) [mm] \to \infty
[/mm]
Krümmungsverhalten:
Hier habe ich mein Problem. Ich bilde die erste Ableitung und will überprüfen wann diese größer oder kleiner Null ist. Doch leider schaffe ich das nicht.
Meine erste Ableitung ist:
f'(x)= 2x * ln x + x
Wie kann ich hier feststellen wann die Ableitungsfunktion größer oder kleiner Null ist?
Danke im vorraus.
Gruß Marcel
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Hallo,
> Gegeben ist die Funktion
>
> x²*LN x
>
> Berechnen/Bestimmen sie:
> - Definitionsbereich
> - die Schnittpunkte der Achsen
> - das Verhalten für x [mm]\to \infty[/mm]
> - das
> Monotonieverhalten
> - das Krümmungsverhalten
> - Extrem und Wendepunkte
>
> Hallo zusammen,
>
> bisher habe ich folgende Lösungen:
>
> Definitionsbereich: [mm]\IR[/mm] positiv
>
> Schnittpunkte:
>
> X-Achse: x² * ln x=0
> x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
> x=1 <-- Schnittpunkt x-Achse
>
> y-Achse:
> x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
>
> Verhalten für x [mm]\to \infty[/mm]
>
> Für x [mm]\to \infty[/mm] gilt f(x) [mm]\to \infty[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Krümmungsverhalten:
>
> Hier habe ich mein Problem. Ich bilde die erste Ableitung
> und will überprüfen wann diese größer oder kleiner Null
> ist. Doch leider schaffe ich das nicht.
> Meine erste Ableitung ist:
>
> f'(x)= 2x * ln x + x
>
> Wie kann ich hier feststellen wann die Ableitungsfunktion
> größer oder kleiner Null ist?
Das Krümmungsverhalten verändert sich ja nur, wenn die Funktion Wendepunkte hat. Dazu brauch man erst mal die ersten 3 Ableitungen und die Kriterien sind: 2. Ableitung=0 und dann 3. größer oder kleiner 0! Für die Extrema wird die 1. Ableitung benötigt, die du ja schon hast.
Ich rechne dir das mal kurz vor:
f'(x)=0=2x*ln(x)+x
[mm] \gdw [/mm] -x=2x*ln(x) da [mm] x\not=0, [/mm] dividieren wir durch 2x
[mm] \gdw [/mm] -0,5=ln(x)
[mm] \Rightarrow x=e^{-0,5}\approx [/mm] 0,6065
Für den Rest bildest du jetzt die weiteren Ableitungen und verfährst wie oben beschrieben!
>
> Danke im vorraus.
>
> Gruß Marcel
Viele Grüße
Daniel
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Hi, Schaaafsmilch,
> Gegeben ist die Funktion
>
> x²*LN x
>
> Berechnen/Bestimmen sie:
> - Definitionsbereich
> - die Schnittpunkte der Achsen
> - das Verhalten für x [mm]\to \infty[/mm]
> - das
> Monotonieverhalten
> - das Krümmungsverhalten
> - Extrem und Wendepunkte
>
> Hallo zusammen,
>
> bisher habe ich folgende Lösungen:
>
> Definitionsbereich: [mm]\IR[/mm] positiv
Richtig!
> Schnittpunkte:
>
> X-Achse: x² * ln x=0
> x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
> x=1 <-- Schnittpunkt x-Achse
>
> y-Achse:
> x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
>
> Verhalten für x [mm]\to \infty[/mm]
>
> Für x [mm]\to \infty[/mm] gilt f(x) [mm]\to \infty[/mm]
Richtig!
Allerdings wundert's mich, dass Du nicht auch x [mm] \to [/mm] 0 berechnen sollst (Ergebnis: f(x) [mm] \to [/mm] 0)
> Krümmungsverhalten:
Erst doch wohl das Monotonieverhalten, oder?!
> Hier habe ich mein Problem. Ich bilde die erste Ableitung
> und will überprüfen wann diese größer oder kleiner Null
> ist. Doch leider schaffe ich das nicht.
> Meine erste Ableitung ist:
>
> f'(x)= 2x * ln x + x
>
> Wie kann ich hier feststellen wann die Ableitungsfunktion
> größer oder kleiner Null ist?
Womit Du eben - wie erwähnt - das Monotonieverhalten bestimmst!
Also: f'(x) = 2x*ln(x) + x = x*(2*ln(x)+1)
Ein Produkt ist > 0, wenn beide Faktoren >0 oder beide Faktoren <0 sind:
Da nun (wegen [mm] D_{f} [/mm] x bereits > 0 ist, muss auch die Klammer > 0 sein:
2*ln(x) +1 > 0 <=> ln(x) > -0,5
Da der ln echt monoton steigt, folgt daraus: x > [mm] e^{-0,5}
[/mm]
Demnach ist der Graph Deiner Funktion
echt monoton steigend im Intervall [ [mm] e^{-0,5} [/mm] ; [mm] +\jnfty [/mm] [,
echt monoton fallend im Intervall ] 0 ; [mm] e^{-0,5} [/mm] ].
Achte dabei auf die Intervallgrenzen! Sobald eine Funktion an einer Stelle stetig ist, wie hier bei x = [mm] e^{-0,5}, [/mm] wird diese Stelle den Monotonieintervallen "angefügt".
Übrigens ergibt sich aus dem Monotonieverhalten auch, dass die Funktion bei x = [mm] e^{-0,5} [/mm] einen relativen (ja sogar absoluten!) Tiefpunkt aufweist.
Für das Krümmungsverhalten (und den Wendepunkt) benötigst Du nun die 2. Ableitung!
mfG!
Zwerglein
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