Monotonieverhalten < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 So 08.10.2006 | | Autor: | blank |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion f(x)=e^(2x)-4e^(x)+3 auf Monotonie sowie ihr Verhalten für x--> +- unendlich |
Hab irgentwie ein blackout...keine Ahnung wie ich da ansetzten soll :(
danke schon mal im vorraus für alle antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 So 08.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
deine Funktion lautet: [mm] f(x)=e^{2x}-4e^{x}+3.
[/mm]
Fangen wir mal mit dem Verhalten gegen unendlich an.
Du hast hier eine zusammengesetzte Funktion aus zwei e-Funktionen und einer Konstanten am Ende. Nun klammert man am besten mal [mm] e^{x} [/mm] aus.
Dann hat man: [mm] e^{x}(e^{x}-4)+3. [/mm] Man klammert nur teilweise aus.
Wenn nun x gegen +unendlich läuft dann wird der Term vor der Klammer unendlich, der Term in der Klammer wird unendlich und der gesamte Term wird auch unendlich. Also hast du dein Ergebnis.
Nun zu -unendlich. Hier macht man es ganz genauso mit dem ausklammern, nur hier wird dann der Term vor der Klammer 0 und somit wird auch der Term bis zu +3 zu 0, denn 0*x=0. Also läuft der gesamte Term gegen den Wert 3.
Geschicktes ausklammern ist bei solchen Funktionen meistens ratsam um den Grenzwert zu berechnen. Es gibt andere Funktionen bei denen man allerdings anders vorgehen muß.
Um die Monotonie zu klären braucht man zunächst den oder die Extremwerte der Funktion. Wenn man nun weiß, wie sich die Funktion im unendlichen und im negativen unendlichen verhält, kann man eine Aussage darüber machen, wie sich die Funktion zwischen den Extremwerten verhält, vorausgesetzt man hat mehrere Extremwerte, oder wie sich die Funktion verhält ab dem Extrempunkt, also einmal Richtung +unendlich und einmal Richtung -unendlich. Wie man hier den Extremwert berechnet dürfte eigentlich kein Problem sein, also lasse ich das mal aus. Man hat hier exakt 1. Extrempunkt. Nun schaut man ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt. Hier handelt es sich um einen Tiefpunkt. Wenn ich nun weiß, das es nur einen Tiefpunkt gibt und das die Funktion für x gegen +unendlich ins unendliche verläuft, kann ich sagen, das die Funktion ab dem Tiefpunkt in positive x-Richtung monoton wachsend sein muß. Da die Funktion auch in negative x-Richtung gegen einen Grenzwert läuft, der größer ist als die y-Koordinate des Tiefpunktes muss die Funktion auch hier monoton wachsend gegen den Grenzwert laufen.
Und so macht man das immer! Man nimmt hierfür immer die Position der Extremwerte zu hilfe und schaut sich an wie sich die Funktion dann im Unendlichen verhält.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 08.10.2006 | | Autor: | blank |
Ja du hast mir sehr geholfen danke
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