Motivation Faktorisieren < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Erstelle einen guten Unterrichtsentwurf.  |
Hallo,
ich muss im Rahmen eines Unterrichtsbesuches eine Motivation zum Thema Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln erstellen. Hat irgendjemand vielleicht eine Anwendungsbezogene Idee?
Mein Vorschlag wäre folgender:
Ein quadratischer [mm] 100m^2 [/mm] großer, quadratischer Spielplatz soll auf [mm] 400m^2 [/mm] erweitert werden. Für die Eingrenzung des Geländes wird die Vergrößerung der Länge´x und der Breite x des Platzes benötigt. Die dazugehörige Gleichung beträgt:
[mm] x^2 [/mm] + 2*10*x + 100 = 400
Erkläre anhand der Skizze, wie man auf die Glg. kommt.
Versuche [mm] x^2 [/mm] + 20*x + 100 in eine binomische Formel umzuwandeln.
Bestimme die Länge x und die Breite x.
So das wärs. Mir ist das alles noch ein bisschen zu konstruiert. Habt ihr weitere Vorschläge?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Erstelle einen guten Unterrichtsentwurf.
> Hallo,
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> ich muss im Rahmen eines Unterrichtsbesuches eine
> Motivation zum Thema Faktorisieren mit Hilfe der
> binomischen Formeln erstellen. Hat irgendjemand vielleicht
> eine Anwendungsbezogene Idee?
>
> Mein Vorschlag wäre folgender:
> Ein quadratischer [mm]100m^2[/mm] großer, quadratischer Spielplatz
> soll auf [mm]400m^2[/mm] erweitert werden. Für die Eingrenzung des
> Geländes wird die Vergrößerung der Länge´x und der
> Breite x des Platzes benötigt. Die dazugehörige Gleichung
> beträgt:
>
> [mm]x^2[/mm] + 2*10*x + 100 = 400
>
> Erkläre anhand der Skizze, wie man auf die Glg. kommt.
> Versuche [mm]x^2[/mm] + 20*x + 100 in eine binomische Formel
> umzuwandeln.
> Bestimme die Länge x und die Breite x.
>
>
> So das wärs. Mir ist das alles noch ein bisschen zu
> konstruiert.
Hallo roteweste,
das scheint mir auch so ...
Vor allem kann ich mir nicht recht vorstellen, wie man
Schüler zu irgendwelchen Rechnungen motivieren
soll, wenn sie sofort sehen, dass es auch deutlich
einfacher ginge ...
Wenn der vergrößerte quadratische Platz den
Flächeninhalt 400 [mm] m^2 [/mm] haben soll, werden doch wohl
nicht nur die ganz Cleveren gleich merken, dass
die Seitenlänge 20 m sein müsste ...
Mir ist im Moment auch gar noch nicht recht klar,
was mit "Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln"
genau gemeint sein soll ... Man kann dies auf
unterschiedliche Arten verstehen.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mo 23.09.2013 | | Autor: | roteweste |
Gut das "sehen das es einfacherer ginge" kann man durch ein Anpassung der Zahlen erreichen, sodass die Lösung nicht direkt ablesbar ist. Mir ging es hier darum es nachvollziehbar für möglichst viele Schüler zu gestalten. Ist ja als Einstiegsbeispiel gedacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mo 23.09.2013 | | Autor: | artic3000 |
Hallo,
wenn man überlegt, wozu man das Faktorisieren später benötigt, fällt mir ein, dass man faktorisierte Terme kürzen kann oder dass man die Nullstellen leichter finden kann. Bezüglich letzterem könnte man eine Aufgabe konstruieren, bei der ein Polynom zweiten Grades gegeben ist und die Nullstellen von Interesse sind. Faktorisieren wäre dann eine mögliche Lösungsvariante für das Problem.
Für ersteres wäre ein Problem mit einer gebrochen-rationalen Funktion denkbar, bei der sich dann nach der Faktorisierung ein Term kürzen lässt.
Viele Grüße,
ich hoffe ich konnte helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mo 23.09.2013 | | Autor: | roteweste |
Gut ich hätte vielleicht noch ein wenig dazu schreiben sollen. Es handelt sich dabei um eine 8te Klasse. Die kennen Polynome noch nicht. Auch keine quadratischen Funktionen. In dem Sinne ist das Beispiel schon etwas vorgegriffen und wurde daher möglichst einfach gewählt.
Eine inner mathematische Motivation habe ich mir auch schon überlegt. Also im Sinne von: "Hat jemand ne Idee wie sich der Term [mm] x^2 [/mm] + 6x + 9 vereinfachen lässt, sodass die Gleichung [mm] x^2 [/mm] + 6x + 9 = 0 lösbar ist". Ich denke aber das der grafische Bezug einigen Schülern dabei vielleicht hilft.
Gibt es vielleicht noch andere Herangehensweisen, wenn man annimmt, dass den Schülern quadratische Funktionen noch unbekannt sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mo 23.09.2013 | | Autor: | artic3000 |
Aber du verwendest doch bei deinem Vorschlag auch ein Polynom zweiten Grades in der zu lösenden Gleichung.
Normalerweise behandelt man doch vor dem Faktorisieren das Ausmultiplizieren der binomischen Formeln, oder nicht? Das heißt die Schüler kennen bereits solche quadratischen Terme.
Eine mögliche Aufgabe könnte also sein: Der Term x²-4x+4 beschreibt den Kontostand in Euro zum Zeitpunkt x in Tagen. Wann beträgt der Kontostand 0 Euro? x²-4x+4=(x-2)²=0, also am Tag 2.
Die Fragestellung wäre die Motivation, dann könnte man sich der Lösung über die Betrachtung von Rechtecken (so wie du es wahrscheinlich schon gemeint hast ganz allgemein und damit auch geometrisch veranschaulicht betrachten), um dann die daraus gewonnenen Erkenntnisse wieder auf die Aufgabe anzuwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mo 23.09.2013 | | Autor: | roteweste |
Jaein. Polynome kennen sie noch nicht. Aber klar beim Multiplizieren von Summen und Lösen von binomischen Gleichungen kommen auch quadratische Terme raus.
Deine Idee gefällt mir, aber mir erscheint da die Visualisierung ein wenig Problematisch, da die Betrachtung des Flächeninhaltes ja die Einheit [mm] Euro^2 [/mm] ergeben würde, was ja Unsinn ist. Irgendeine Idee wie ich diesen Fallstrick vermeiden könnte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 24.09.2013 | | Autor: | artic3000 |
Eigentlich braucht man die geometrische Veranschaulichung ja garnicht mehr. Denn die binomischen Formeln kennen sie ja bereits, oder? Dann müsstest du eher darauf hinarbeiten, wie man denn nun erkennt, um welche binomische Formel es sich handeln könnte und wie man diese rückwärts anwendet. Dazu könnte man ihnen mehrere einfache Beispiele vorlegen und daran erarbeiten, worauf man als erstes achten sollte.
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Hallo roteweste,
so halbwegs inspiriert durch deine erste Idee ist
mir gerade noch eine nette Möglichkeit eingefallen,
die "dritte" binomische Formel zu veranschaulichen.
Aus einem quadratischen Stück Pappe der Seiten-
länge a wird ein kleineres Quadrat (Seitenlänge b)
ausgeschnitten. Übrig bleibt ein L-förmiges Stück
Pappe. Wie könnte man aus diesem Rest auf
möglichst einfache Weise ein Rechteck machen ? (***)
Welche Seitenlängen und welchen Flächeninhalt
hat dann dieses Rechteck ?
Aus dem Vergleich der Flächeninhalte entsteht
ein schöner geometrischer Beweis für die dritte
binomische Formel.
Aber ich weiß nicht, ob sich so etwas nun besser
für den beabsichtigten Zweck eignen würde ...
LG , Al-Chw.
(***)Hinweis:
es genügt ein einziger weiterer geradliniger Schnitt !
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Das ist ne schöne Idee für die dritte binomische Formel und ich denke ich verwende die auch in meinem Unterricht. Aber ich weiß nicht so recht, wie sich das Beispiel für die Faktorisierung mittels der dritten binomischen Formel eignet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mo 23.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du mal genau sagen welche Faktorisierung du erreichen willst. Kommt es auf quadratische Ergänzung raus_ oder kennen sie alle binomischen Formeln und sollen sie rückwärts anwenden. Dann such in dem Schulbuch nach den Aufgaben zu quadratischen Gleichungen!dein erstes bsp ist auch mit geänderten Zahlen sinnlos,weil es immer schneller geht die neue Seitenlänge direkt (ohne x zu bestimmen.
Gruss leduart
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Ja es geht um Letzteres. Mit Hilfe der binomischen Formeln zu Faktorisieren.
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> Ja es geht um Letzteres. Mit Hilfe der binomischen Formeln
> zu Faktorisieren.
Also faktorisieren kann man natürlich mittels der
3. Formel durchaus auch, etwa:
[mm] x^2-1=(x+1)*(x-1)
[/mm]
[mm] 9991=10000-9=100^2-3^2=(100+3)*(100-3)=103*97
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Di 24.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann motiviere doch mit Rechentricks: wie rechen ich schnell 52*48
oder 97*103 oder 998*1002 usw
oder wie finde ich schnell [mm] 49^2 [/mm] oder [mm] 203^2
[/mm]
alles ohne Taschenrechner.
oder: das Quadrat des Alters vonA zu dem doppelten Alter von A addiert ergibt ....
Gruss leduart.
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