Mult. Gruppe eines Körpers < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich bin gestern beim Bearbeiten einer Aufgabe auf die Frage gestoßen, ob es unendlich viele Primzahlen $p$ gibt, für die das erzeugende/primitive Element der (wie wir wissen zyklischen) multiplikativen Gruppe des Körpers [mm] $\IZ_p$ [/mm] die 2 ist.
Zur Folge hätte dies, dass [mm] $2^x\equiv 1\pmod{p}$ [/mm] sofort [mm] $x\equiv 0\pmod{p-1}$ [/mm] implizierte, was für mich recht nützlich wäre.
Also: ist die Aussage überhaupt wahr? Kennt jemand einen (einfachen) Beweis?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Es sei eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] natürlicher Zahlen durch [mm] $a_0=k\in\IN$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}=2a_n+1$ [/mm] gegeben. Man beweise, dass es unendlich viele Folgenglieder gibt, die nicht prim sind.
Bitte postet die Lösung nicht ins Forum, diese Aufgabe wurde in der letzten Ausgabe der Wurzel (Zeitschrift) gestellt - es ist zwar kein Wettbewerb o.Ä., dennoch sollte die Lösung bis zum Einsendeschluss nicht öffentlich genannt werden - finde ich.
Falls du dir etwas überlegt hast, können wir das aber gerne über PNs besprechen - wenn du magst, schicke ich dir dann mal meine LÖsung unter Voraussetzung der Artin'schen Vermutung!
Liebe Grüße,
Hanno
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Es ist und bleibt eine sehr bekannte unbewiesene Vermutung der Mathematik, die (allgemeiner) als Artinsche Vermutung bekannt ist, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier auf Seite 118
