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Hallo. Habe hier ne Aufgabe, wo ich mir bei den Antworten nicht ganz sicher bin.
Sei V ein 2-dim. R-VR und seien f:V->V und g:W->W lineare Abbildungen. Kreuzen Sie in der folgenden Liste alle Aussagen an, aus denen [mm] f^2=0 [/mm] und [mm] g^2=g [/mm] folgt. Mehrere Antworten möglich.
1. Kern f [mm] \subseteq [/mm] Bild f = falsch
2. Kern f = Bild f = richtig
3. Bild f [mm] \subseteq [/mm] Kern f = richtig
4. Bild f [mm] \cap [/mm] Kern f = {0} = falsch
5. Bild f + Kern f = V = falsch
6. det f [mm] \not= [/mm] 0 = falsch
7. f=0 = richtig
8. f [mm] \not= [/mm] 0 = falsch
9. 0 Ist einziger EW von f = richtig
10. 0 ist EW von f = richtig (bei 9 und 10 bin ich mir nicht ganz sicher. ich weiß nicht, ob beide antworten richtig sind, oder nur 9)
und das gleich mit g. diesen teil habe ich mir dazu gedacht, der stand so nicht in der aufgabe.
1. Kern g [mm] \subseteq [/mm] Bild g
2. Kern g = Bild g
3. Bild g [mm] \subseteq [/mm] Kern g
4. Bild g [mm] \cap [/mm] Kern g = {0}
5. Bild g + Kern g = V
6. det g [mm] \not= [/mm] 0
7. g=0
8. g [mm] \not= [/mm] 0
9. 0 Ist einziger EW von g
10. 0 ist EW von g
So kann jemand vielleicht mal den ersten teil überfliegen und mir beim zweiten teil helfen, denn da habe ich noch bisschen probleme mit, was da zutreffen könnte.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mo 07.04.2008 | | Autor: | bazzzty |
> Sei V ein 2-dim. R-VR und seien f:V->V und g:W->W lineare
> Abbildungen. Kreuzen Sie in der folgenden Liste alle
> Aussagen an, aus denen [mm]f^2=0[/mm] und [mm]g^2=g[/mm] folgt. Mehrere
> Antworten möglich.
> 7. det f=0 = richtig
Was ist mit [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]?
> 10. 0 ist EW von f = richtig
Dieselbe Frage. Ansonsten stimmen die Antworten, denke ich.
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hi, ich glaube, du hast da was verwechselt.
bei 6. steht det f [mm] \not=0 [/mm] ist falsch, da die det f ja null ist. und bei 7. heißt es, dass f=0 richtig ist, das folgt ja aus f²=f=0
so aber könnt ihr mir bei der zweiten abbildung helfen, dort komme ich irgendwie nicht zurecht und weiß nicht, was da zutrifft. also bei dem teil: g:W->W lineare Abbildung mit [mm] g^2=g. [/mm] So aus welchen von den angegebenen Aussagen folgt denn [mm] g^2=g???
[/mm]
1. Kern g $ [mm] \subseteq [/mm] $ Bild g
2. Kern g = Bild g
3. Bild g $ [mm] \subseteq [/mm] $ Kern g
4. Bild g $ [mm] \cap [/mm] $ Kern g = {0}
5. Bild g + Kern g = V
6. det g $ [mm] \not= [/mm] $ 0
7. g=0
8. g $ [mm] \not= [/mm] $ 0
9. 0 Ist einziger EW von g
10. 0 ist EW von g
danke für hilfe, weil bei dem teil komm ich echt nicht zurecht.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Di 08.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
hat bei dieser aufgabe keiner ne ahnung?
weil ich würde jetzt sagen, aus 4. Bild g $ [mm] \cap [/mm] $ Kern g = {0} , folgt die behauptung. aber mehr fällt mir dazu nicht ein.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 08.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> so aber könnt ihr mir bei der zweiten abbildung helfen,
> dort komme ich irgendwie nicht zurecht und weiß nicht, was
> da zutrifft. also bei dem teil: g:W->W lineare Abbildung
> mit [mm]g^2=g.[/mm] So aus welchen von den angegebenen Aussagen
> folgt denn [mm]g^2=g???[/mm]
>
>
> 1. Kern g [mm]\subseteq[/mm] Bild g
stimmt nicht.
> 2. Kern g = Bild g
stimmt nicht.
> 3. Bild g [mm]\subseteq[/mm] Kern g
stimmt nicht.
> 4. Bild g [mm]\cap[/mm] Kern g = {0}
stimmt nicht.
> 5. Bild g + Kern g = V
stimmt nicht.
> 6. det g [mm]\not=[/mm] 0
stimmt nicht.
> 7. g=0
das bekommst du auch selber noch raus :)
> 8. g [mm]\not=[/mm] 0
stimmt nicht.
> 9. 0 Ist einziger EW von g
stimmt nicht.
> 10. 0 ist EW von g
stimmt nicht.
Falls dich Abbildungen mit [mm] $g^2 [/mm] = g$ interessieren: das Minimalpolynom muss $x (x - 1)$ teilen, womit solche Abbildungen hoechstens die Eigenwerte 0 und 1 haben und diagonalisierbar sind. Damit hast du sie im Prinzip schon alle beschrieben...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 08.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei V ein 2-dim. R-VR und seien f:V->V und g:W->W lineare
> Abbildungen. Kreuzen Sie in der folgenden Liste alle
> Aussagen an, aus denen [mm]f^2=0[/mm] und [mm]g^2=g[/mm] folgt. Mehrere
> Antworten möglich.
Das sollte ein 'bzw.' und kein 'und' sein, oder?
> 9. 0 Ist einziger EW von f = richtig
Stimmt, da $V$ zweidimensional ist.
> 10. 0 ist EW von f = richtig
Stimmt nicht, das Beispiel von bazzzty ist hier ein Gegenbeispiel.
LG Felix
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hi, danke erstmal. ja, soll bzw. stehen. d.h. nur aus einer aussage kann man [mm] g^2=g [/mm] folgern???
ich dachte, wenn [mm] g^2=g [/mm] gilt, dann gilt auch 4. Bild g [mm] \cap [/mm] Kern g = {0} .
gibt es vielleicht sonst noch charakteristiken, die zu so einer Abbildung passen [mm] g^2=g, [/mm] die eventuell in Klausuren im bereich Multiple Choice wichtig sein könnten und die gerne gefragt sind?
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Di 08.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
achja, ich denke 9. stimmt doch nicht, das 0 einziger Ew ist, siehe beispiel [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ 1 & -1 }
[/mm]
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Di 08.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> hi, danke erstmal. ja, soll bzw. stehen. d.h. nur aus einer
> aussage kann man [mm]g^2=g???[/mm] folgern???
Dieser Satz ist sehr schwer zu verstehen - vor allem die vielen "?"s.
Jedenfalls: wegen der Bedingung an V reicht es, dass f als einzigen EW 0 hat. Denn dann zerfällt das char. Polynom zu [m]X^2[/m], dann nimmt man sich die JNF vor - und ist fertig.
> ich dachte, wenn [mm]g^2=g???[/mm] gilt, dann gilt auch 4. Bild g
> [mm]\cap[/mm] Kern g = {0} .
Hm, meinst du bei [mm]g^2=g???[/mm] mit den "?" was besonderes? Wenn das bloß zu viel war: aus einem folgt das andere, aus dem anderen aber nicht das eine.
> gibt es vielleicht sonst noch charakteristiken, die zu so
> einer Abbildung passen [mm]g^2=g,[/mm]
Man kann diese (auch adhoc ohne char. Polynom und der Theorie, die folgt) über endlich-dim. VR klassifizieren: es gibt eine Basis [m]v_j[/m], so dass [m]g(v_j)=v_j[/m] oder [m]g(v_j)=0[/m] gilt. Etwas ähnliches kann man für f finden.
> die eventuell in Klausuren im
> bereich Multiple Choice wichtig sein könnten und die gerne
> gefragt sind?
Wofür brauchst du das denn alles? Mir scheint, du ziehst das ganze falsch auf: wenn du weißt, welche Struktur diese Endomorphismen haben, dann folgen die Antworten. Es wäre total falsch, wenn wir dir helfen würden, jede mögliche Fragenkombination vorher zu klären. Diese Fragen soll man auch dadurch beantworten, dass man Verständnis für den Stoff hat! Imo kommst du auch nicht weit, wenn du einfach ja/nein schreibst, und du erhälst ja/nein Antworten - wo ist denn da dein Verständnis - und wenn in der Klausur dann [m]f^2=2f[/m] gefragt wird?
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:04 Di 08.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
hi, sorry das mit den fragezeichen war mir gar nicht aufgefallen, das ist natürlich unsinn, werde das gleich ändern.
aber zu der aussage mit den ew nochmal. du sagst ja, aus: 0 ist einziger EW kann man [mm] g^2=g [/mm] folgern, habe ich das so richtig verstanden?
aber ich habe mir das mal an der matrix [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0} [/mm] überlegt. Man sieht ja, dass 0 einziger EW ist. Jedoch gilt [mm] (\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0} )^2=\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 0} \not= \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0} [/mm]
deswegen kann das doch so nicht stimmen, oder???
und dann nochmal eine andere frage. wo du es ja schon ansprichst, man muss den stoff verstehen. wenn z.b. sowas $ [mm] f^2=2f [/mm] $ oder wie in meinen beispielen [mm] g^2=g [/mm] oder [mm] f^2=0. [/mm] wie packt man diese sachen an, also was muss einem auf anhieb aufallen? oder was sollte man zuerst prüfen?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 08.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> aber zu der aussage mit den ew nochmal. du sagst ja, aus: 0
> ist einziger EW kann man [mm]g^2=g[/mm] folgern, habe ich das so
> richtig verstanden?
Ich meinte das für f - für g ist das falsch, wie du gezeigt hast. Sorry.
> und dann nochmal eine andere frage. wo du es ja schon
> ansprichst, man muss den stoff verstehen. wenn z.b. sowas
> [mm]f^2=2f[/mm] oder wie in meinen beispielen [mm]g^2=g[/mm] oder [mm]f^2=0.[/mm] wie
> packt man diese sachen an, also was muss einem auf anhieb
> aufallen? oder was sollte man zuerst prüfen?
Siehe, was felix geschrieben hatte: das Minimalpolynom muss dann den Ausdrücke [m]x^2-x[/m] bzw. [m]x^2[/m] bzw. [m]x^2-2x[/m] teilen. Und sich dann weiterhangeln. Oder aber versuchen mit Kern und Bild direkt eine Art Normalform für diese Endomorphismen zu erhalten. Vielleicht hat jemand anderes noch eine Idee.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 09.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > und dann nochmal eine andere frage. wo du es ja schon
> > ansprichst, man muss den stoff verstehen. wenn z.b. sowas
> > [mm]f^2=2f[/mm] oder wie in meinen beispielen [mm]g^2=g[/mm] oder [mm]f^2=0.[/mm] wie
> > packt man diese sachen an, also was muss einem auf anhieb
> > aufallen? oder was sollte man zuerst prüfen?
>
> Siehe, was felix geschrieben hatte: das Minimalpolynom muss
> dann den Ausdrücke [m]x^2-x[/m] bzw. [m]x^2[/m] bzw. [m]x^2-2x[/m] teilen. Und
> sich dann weiterhangeln. Oder aber versuchen mit Kern und
> Bild direkt eine Art Normalform für diese Endomorphismen zu
> erhalten. Vielleicht hat jemand anderes noch eine Idee.
Generell wuerde ich solche Probleme ueber eine Normalform anpacken. Bei Endomorphismen bietet sich die Jordansche Normalform an, da man dort eigentlich immer sieht was genau passiert -- also wie das char. Poly aussieht, wie das Minimalpolynom aussieht, wie die Eigenraeume und Hauptraeume aussehen, wie sie in Relation stehen, wann die Matrix diagonalisierbar ist und was nicht, ... Ausserdem kann man $f(A)$ leicht ausrechnen wenn $f$ ein Polynom ist und $A$ in Jordanscher Normalform.
Sprich, wenn man die Jordansche Normalform ``verstanden'' hat, dann kann man damit sehr viele Eigenschaften von linearen Abbildungen verstehen, nachvollziehen und sogar entdecken (soweit man sie noch nicht kannte).
LG Felix
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hi, ja danke erstmal.
aber wenn nur eine abbildung gegeben ist, z.B. f: V [mm] \to [/mm] V mit [mm] f^2=2f. [/mm] wie willst du denn daraus die JNF erstellen?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 10.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> aber wenn nur eine abbildung gegeben ist, z.B. f: V [mm]\to[/mm] V
> mit [mm]f^2=2f.[/mm] wie willst du denn daraus die JNF erstellen?
Erstmal weisst du nur: sie hat irgendeine JNF.
Jetzt kannst du allerdings bei der JNF sehr einfach die JNF von [mm] $f^2$ [/mm] und die von $2 f$ ausrechnen. Wenn du die beiden gleichsetzt, bekommst du dann sehr schnell raus wie genau das aussehen muss.
(In diesen Fall kannst du dich auf ein Jordan-Kaestchen beschraenken erstmal und gucken was da passiert, dann kannst du meist schnell Aussagen ueber die Eigenwerte und die Kaestchen-Groesse machen.)
LG Felix
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hi.
Jetzt kannst du allerdings bei der JNF sehr einfach die JNF von $ [mm] f^2 [/mm] $ und die von $ 2 f $ ausrechnen. Wenn du die beiden gleichsetzt, bekommst du dann sehr schnell raus wie genau das aussehen muss.
da weiß ich nicht genau, was du damit meinst, bzw. wie man vorgeht.
gruß
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>> Jetzt kannst du allerdings bei der JNF sehr einfach die JNF
>> von [mm]f^2[/mm] und die von [mm]2 f[/mm] ausrechnen. Wenn du die beiden
>> gleichsetzt, bekommst du dann sehr schnell raus wie genau
>> das aussehen muss.
>
> da weiß ich nicht genau, was du damit meinst, bzw. wie man
> vorgeht.
Hallo,
klar, oft weiß man nicht so genau, wie man vorgeht. Dann probiert man halt ein bißchen herum, eine schöne Gelegenheit, sich mit dem behandelten Stoff vertraut zu machen.
Irrwege gehören dazu, auch die Erkenntnis, einen falschen Weg eingeschlagen zu haben, ist eine wertvolle Erkenntnis.
Falls die nicht ganz unwahrscheinliche Situation vorliegt, daß man den Stoff noch nicht richtig beherrscht, empfieht es sich dringend, begleitend ein wenig im entsprechenden Fachbuch zu schmökern.
Was hast Du denn bisher getan und Dir überlegt?
Wenn ich nicht den Faden verloren habe, ist f eine Abbildung zwischen zwei zweidimensionalen Räumen mit der Eigenschaft [mm] f^2=2f.
[/mm]
D.h. [mm] f^2-2f=0
[/mm]
Betrachten wir mal das Polynom [mm] p(x):=x^2-2x.
[/mm]
Es ist p(f)=0.
Nun solltest Du mal nachlesen, was das Minimalpolynom einer Funktion ist und überlegen, was p damit zu tun haben könnte. Ich meine, ich hätte es gar hier im Thread schon gelesen.
Gruß v. Angela
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>D.h. $ [mm] f^2-2f=0 [/mm] $
>Betrachten wir mal das Polynom $ [mm] p(x):=x^2-2x. [/mm] $
>Es ist p(f)=0.
Hi. ich weiß, dass das minimalpolynom das charakteristische polynom teilen muss, also muss wie du geschrieben hast, p(f)=0. weiter weiß ich auch, dass die alge. Vielfachheit des minimalpolynoms dem größten Jordankästchen zu einem EW in der JNF entspricht. mehr fällt mir leider dazu nicht ein.
aber irgendwie kriege ich da nicht 0 raus. es heiß ja, berechne p(f):
p(f)= [mm] f^4 [/mm] - [mm] 4f^2 [/mm] - [mm] 2f^2 [/mm] - 4f = [mm] f^4 [/mm] - [mm] 6f^2 [/mm] - 4f = [mm] f(f^3 [/mm] - 6f - 4)
da kommt ja nicht null raus, oder habe ich es falsch gemacht?
gruß
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> >D.h. [mm]f^2-2f=0[/mm]
>
> >Betrachten wir mal das Polynom [mm]p(x):=x^2-2x.[/mm]
>
> >Es ist p(f)=0.
>
>
> Hi. ich weiß, dass das minimalpolynom das charakteristische
> polynom teilen muss, also muss wie du geschrieben hast,
> p(f)=0.
Hallo,
wie ist denn eigentlich das Minimalpolynom definiert?
Wenn Du weißt, daß (bei meinem Polynom p von oben) p(f)=0 ist, welche Möglichkeiten gibt's dann fürs Minimalpolynom von f?
---
>
> aber irgendwie kriege ich da nicht 0 raus. es heiß ja,
> berechne p(f):
>
> p(f)= [mm]f^4[/mm] - [mm]4f^2[/mm] - [mm]2f^2[/mm] - 4f = [mm]f^4[/mm] - [mm]6f^2[/mm] - 4f = [mm]f(f^3[/mm] - 6f
> - 4)
>
> da kommt ja nicht null raus, oder habe ich es falsch
> gemacht?
Jetzt bin ich restlos überfordert:
darf ich mal fragen, über welches Problem Du gerade sprichst?
Ich ging bisher davon aus, daß Du irgendwas über eine Funktion [mm] f:V\to [/mm] V mit dimV=2, welche die Eigenschaft [mm] f^2=2f [/mm] hat, herausfinden wolltest.
(Falls ich das völlig falsch verstanden und in Folge Verwirrung gestiftet habe, entschuldige ich mich. Und schleiche still wieder heraus aus diesem Thread)
Gruß v. Angela
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hi, nein nein, das war schon so richtig. vielleicht habe ich dich nur falsch verstanden.
es geht genau um dieses problem: "Ich ging bisher davon aus, daß Du irgendwas über eine Funktion $ [mm] f:V\to [/mm] $ V mit dimV=2, welche die Eigenschaft $ [mm] f^2=2f [/mm] $ hat, herausfinden wolltest."
Das war halt nur so ein Beispiel und ich habe gefragt, wie man überhaupt erstmal so ein problem angeht, wenn nur die abbildung und [mm] f^2=2f [/mm] gegeben ist. dann kamen ja die beiträge mit JNF, Minimalpolynom usw.
Aber jetzt zur frage:
dieses polynom [mm] p(x):=x^2-2x [/mm] = x(x-2) ist ja schon vom kleinsten Grad, also ist dieses Polynom auch das Minimalpolynom.
Aber hatte ich die hier falsch verstanden Es ist p(f)=0, das ist ja eigentlich auch die Bedingung für das Minimalpolynom, nur wie du gesehen hast bei meiner Rechnung hauts nicht hin, oder habe ich was falsch gemacht?
p(f)= $ [mm] f^4 [/mm] $ - $ [mm] 4f^2 [/mm] $ - $ [mm] 2f^2 [/mm] $ - 4f = $ [mm] f^4 [/mm] $ - $ [mm] 6f^2 [/mm] $ - 4f = $ [mm] f(f^3 [/mm] $ - 6f - 4)
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Fr 11.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> dieses polynom [mm]p(x):=x^2-2x[/mm] = x(x-2) ist ja schon vom
> kleinsten Grad, also ist dieses Polynom auch das
> Minimalpolynom.
Nein. Nimm zB [m]f=0[/m]. Was ist das Minimalpolynom?
> Aber hatte ich die hier falsch verstanden Es ist p(f)=0,
> das ist ja eigentlich auch die Bedingung für das
> Minimalpolynom, nur wie du gesehen hast bei meiner Rechnung
> hauts nicht hin, oder habe ich was falsch gemacht?
Keine Ahnung, was du überhaupt gemacht hast. Das p fällt vom Himmel und ist sicher nicht das Minimalpolynom. So lange du uns nicht sagst, woher das p kommt, wird das nichts. Da liegt einiges im Argen ...
SEcki
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hi, das p hatte ich von angelas beitrag, also:
"Wenn ich nicht den Faden verloren habe, ist f eine Abbildung zwischen zwei zweidimensionalen Räumen mit der Eigenschaft $ [mm] f^2=2f. [/mm] $
D.h. $ [mm] f^2-2f=0 [/mm] $
Betrachten wir mal das Polynom $ [mm] p(x):=x^2-2x. [/mm] $
Es ist p(f)=0. "
und zu deiner frage, wenn zB f=0. Was ist das Minimalpolynom?
Das Minimalpolynom existiert doch dann gar nicht, oder?
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Hallo,
wir halten fest:
[mm] f^2=2f,
[/mm]
und für p(x):= [mm] x^2-2x [/mm]
ist p(f)=0.
Was mußt Du denn für x einsetzten, wenn Du Dich statt für p(x) für p(f) interessierst?
(Du hast zuvor ziemlich Unsinniges gean, und das auch noch falsch.)
>
> und zu deiner frage, wenn zB f=0. Was ist das
> Minimalpolynom?
>
> Das Minimalpolynom existiert doch dann gar nicht, oder?
Wieso? Wie begründest Du das?
Hier ist die Stelle, an welcher mir nichts anders einfällt, als meine zuvor gestellt Frage zu wiederholen:
Wie ist das Minimalpolynom eines Endomorphismus definiert?
So lange das nicht klar ist, ist es müßig, weiter über Minimalpolynome zu reden.
Gruß v. Angela
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hi. ich schreibe dir mal unsere def. für minimalpolynome auf:
Sei f: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus. Ein normiertes Polynom P [mm] \in [/mm] K[x] heißt Minimalpolynom von f, falls folgendes gilt:
1) P(f)=0
2) Für alle Polynome Q [mm] \in [/mm] K[x] mit Q(f)=0 gilt deg Q [mm] \ge [/mm] deg P
dann habe ich auch gleich mal eine frage zu diesem normiert. denn wir haben da ein Beispiel:
a) [mm] x^2 [/mm] + 5 ist normiert, jedoch
b) x + 5 nicht, wieso?
Unsere Def. für normiert ist:
Ein Polynom heißt normiert vom Grand d, falls [mm] p=x^d [/mm] + niedrigster Term gilt. Insbesondere gilt P [mm] \not=0
[/mm]
Deswegen, warum ist a) normiert und b) nicht? denn setzt man in der def. d=1, dann haben wir doch [mm] x^1=x, [/mm] deswegen versteh ich das nicht so ganz.
jetzt zu deiner frage: "Was mußt Du denn für x einsetzten, wenn Du Dich statt für p(x) für p(f) interessierst?"
ja dann muss man doch f einsetzen, also die Abbildung oder nicht? also wenn wir eine matrix hätten, müsste man die Matrix in das Polynom einsetzten und es müsste null ergeben. aber in diesem fall, ist das so falsch?
[mm] p(f)=p(2f)=4f^2 [/mm] -2f ist das so falsch? weil da kommt ja auch nicht null raus.
bei der anderen frage:
> und zu deiner frage, wenn zB f=0. Was ist das
> Minimalpolynom?
>
> Das Minimalpolynom existiert doch dann gar nicht, oder?
> Wieso? Wie begründest Du das?
wenn f=0 ist, dann ist doch das Minimalpolynom 0 oder nicht? weil ja null dann der einzige EW ist, und somit einzige Nullstelle des Char. Polynoms?
Oder ist das jetzt auch falsch? vielleicht könnt ihr ja bisschen Licht ins Universum werfen.
gruß
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> hi. ich schreibe dir mal unsere def. für minimalpolynome
> auf:
>
> Sei f: V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus. Ein normiertes Polynom P
> [mm]\in[/mm] K[x] heißt Minimalpolynom von f, falls folgendes gilt:
>
> 1) P(f)=0
> 2) Für alle Polynome Q [mm]\in[/mm] K[x] mit Q(f)=0 gilt deg Q [mm]\ge[/mm]
> deg P
Hallo,
aha.
Mal in anderen Worten: das Minimalpolynom von f ist das normierte Polynom p kleinsten Grades, für welches p(f)=0 ist.
(Und genau das ist wichtig, wenn man solche Definitionen liest. Man muß sich immer fragen: was ist das? Wie im Kleinen Katechismus. Nur so kann man es verstehen.)
>
> dann habe ich auch gleich mal eine frage zu diesem
> normiert. denn wir haben da ein Beispiel:
>
> a) [mm]x^2[/mm] + 5 ist normiert, jedoch
> b) x + 5 nicht, wieso?
Die sind beide normiert.
Das erste ist normiert vom Grad 2, das zweite normiert vom Grad 1.
> Unsere Def. für normiert ist:
>
> Ein Polynom heißt normiert vom Grand d, falls [mm]p=x^d[/mm] +
> niedrigster Term gilt. Insbesondere gilt P [mm]\not=0[/mm]
>
>
>
> jetzt zu deiner frage: "Was mußt Du denn für x einsetzten,
> wenn Du Dich statt für p(x) für p(f) interessierst?"
>
> ja dann muss man doch f einsetzen, also die Abbildung oder
> nicht?
Eben.
Und wenn Du in [mm] p(x)=x^2 [/mm] - 2x
f einsetzt, hast Du doch
[mm] p(f)=f^2-2f.
[/mm]
Nun überleg Dir, warum das im aktiellen Falle =0 ist.
> [mm]p(f)=p(2f)=4f^2[/mm] -2f ist das so falsch?
Wie kommst du darauf, daß p(f)=p(2f) richtig ist?
> > und zu deiner frage, wenn zB f=0. Was ist das
> > Minimalpolynom?
> >
> > Das Minimalpolynom existiert doch dann gar nicht, oder?
>
> > Wieso? Wie begründest Du das?
>
> wenn f=0 ist, dann ist doch das Minimalpolynom 0
Das Minimalpolynom kann dochnicht das Nullpolynom q(x)=0 sein. Das ist doch gar nicht normiert.
> oder
> nicht? weil ja null dann der einzige EW ist,
Halt! Wenn das Minimalpolynom q(x)=0 wäre (!), hätte diese Polynom unendlich viele Nullstellen.
> und somit
> einzige Nullstelle des Char. Polynoms?
>
> Oder ist das jetzt auch falsch? vielleicht könnt ihr ja
> bisschen Licht ins Universum werfen.
Wenn Du das Minimalpolynom von f=0 suchst, mußt Du das Polynom p kleinsten Grades suchen, für welches p(f)=0 ist.
Das Polynom [mm] p(x)=x+5=x+5x^0 [/mm] ist's nicht, denn es ist
p(f)=f+5*id= 0+5*id=5*id.
Gruß v. Angela
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Hi nochmal.
also dann muss aber in unserem skript ein fehler sein, denn dort steht bei x + 5 nicht normiert, aber da habe ich mich ehrlich gesagt auch ziemlich gewundert.
> $ [mm] p(f)=p(2f)=4f^2 [/mm] $ -2f ist das so falsch?
> Wie kommst du darauf, daß p(f)=p(2f) richtig ist?
warum ich das gemacht habe liegt dran, dass ich dachte f=2f, so hatten wir es ja zuvor definiert oder war es [mm] f^2=2f. [/mm] egal, jedenfalls daher mein fehler.
> Nun überleg Dir, warum das im aktiellen Falle =0 ist.
warum das null sein soll, sehe ich ehrlich gesagt gerade nicht.
> Halt! Wenn das Minimalpolynom q(x)=0 wäre (!), hätte diese Polynom unendlich > viele Nullstellen.
ein polynom p(x)=0 hat unendlich viele nullstellen, d.h. unendlich viele EW, das wusste ich ja gar nicht. woran liegt das, wir haben doch gar nichts, da steht doch p(x)=0.
gruß
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> also dann muss aber in unserem skript ein fehler sein, denn
> dort steht bei x + 5 nicht normiert, aber da habe ich mich
> ehrlich gesagt auch ziemlich gewundert.
Hallo,
was sein könnte: daß da steht "nicht normiert vom grad 2".
> > Nun überleg Dir, warum das im aktiellen Falle =0 ist.
>
> warum das null sein soll, sehe ich ehrlich gesagt gerade
> nicht.
Och!
Wie sind uns einig, daß [mm] p(f)=f^2 [/mm] -2f ist, ja?
Wenn Du jetzt mal die Bedingung [mm] f^2=2f [/mm] etwas umstellen würdest...
>
> > Halt! Wenn das Minimalpolynom q(x)=0 wäre (!), hätte diese
> Polynom unendlich
> viele Nullstellen.
>
> ein polynom p(x)=0 hat unendlich viele nullstellen, d.h.
> unendlich viele EW, das wusste ich ja gar nicht. woran
> liegt das, wir haben doch gar nichts, da steht doch
> p(x)=0.
Jetzt mal Ruhe bewahren.
Mathematik ist ein schwieriges Fach, und der Anfang ist besonders hart.
Manches aber kennt man schon seit Kindertagen:
Könntest Du vielleicht mal den Graphen der Funktion p(x)=0 aufzeichnen?
Und? An welchen Stellen sind die Funktionswerte=0? Überall! Also unendlich viele Nullstellen.
Noch eines: ein Polynom kann keine Eigenwerte haben. Eigenwerte haben Funktionen bzw. Matrizen.
Ihre Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und des Minimalpolynoms. Und wenn Du weißt, wie man das charakteristische Polynom berechnet, wirst Du einsehen, daß p(x)=0 niemals das charakteristische Polynom einer Matrix sein kann.
Gruß v. Angela
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