Multiplikation mit x' < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:29 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Gegeben sei die Differentialgleichung
[mm] $x''=x-x^2+\gamma [/mm] x'$
mit einem reellen Parameter [mm] $\gamma$.
[/mm]
a) Sei zunächst [mm] $\gamma=0$. [/mm] Bestimmen Sie eine Erhaltungsgröße (ein erstes Integral) der Differentialgleichung und skizzieren Sie das Phasenportrait! Welche stationären Lösungen der Differentialgleichung sind stabil?
(Hinweis: um eine Erhaltungsgröße zu finden, kann man z.B. die mit $x'$ multiplizierte Gleichung betrachten.)
b) Sei nun [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$. Wie verhält sich jetzt die Erhaltungsgröße aus Teil a) längs Lösungen der Differentialgleichung? Für welche Werte von [mm] $\gamma$ [/mm] besitzt die Differentialgleichung asymptotisch stabile stationäre Lösungen und welche sind dies? |
Hey, ich hab zu dieser Aufgabe eine Frage.
Was bringt es, eine Gleichung mit $x'$ zu multiplizieren? Ich habe diesen Trick schon öfters gesehen, aber mir wirds nicht klar. Gibts hierzu irgendein Stichwort, nach dem ich mal googlen könnte?
Gerade bei der Aufgabe: Kann ich da nicht einfach sagen
$x'=y$
[mm] $y'=x-x^2$
[/mm]
und somit ist [mm] $F(x,y)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{y^2}{2}$ [/mm] ein erstes Integral?
Wie bekomme ich daraus das Phasenportrait? $F$ ist ja auf den Lösungen der DGL konstant. Setze ich da einfach $F(x,y)=c$, löse nach $y$ auf und zeiche die Funktion?
Was hilft mir das erste Integral bei der Stabilitätsuntersuchung? Diskutiere ich dafür einfach die Funktion $F(x,y)$ durch und schaue nach Extrempunkten? Einfach dann die Jacobi-Matrix von $F(x,y)$ bestimmen und die beiden stationären Punkte (Nullstellen des Gradienten) [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] dort einsetzen und die Eigenwerte betrachten?
Zur b): Muss man hier den Gradienten der Funktion $F(x,y)$ bestimmen und $x'=y$ und [mm] $y'=x-x^2+\gamma [/mm] y$ setzen?
Fragen über fragen...
Hoffe, jemand hat Ahnung :)
Danke und Gruß, Harris
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Hallo Harris,
> Gegeben sei die Differentialgleichung
> [mm]x''=x-x^2+\gamma x'[/mm]
>
> mit einem reellen Parameter [mm]\gamma[/mm].
>
> a) Sei zunächst [mm]\gamma=0[/mm]. Bestimmen Sie eine
> Erhaltungsgröße (ein erstes Integral) der
> Differentialgleichung und skizzieren Sie das
> Phasenportrait! Welche stationären Lösungen der
> Differentialgleichung sind stabil?
>
> (Hinweis: um eine Erhaltungsgröße zu finden, kann man
> z.B. die mit [mm]x'[/mm] multiplizierte Gleichung betrachten.)
>
> b) Sei nun [mm]\gamma\neq 0[/mm]. Wie verhält sich jetzt die
> Erhaltungsgröße aus Teil a) längs Lösungen der
> Differentialgleichung? Für welche Werte von [mm]\gamma[/mm] besitzt
> die Differentialgleichung asymptotisch stabile stationäre
> Lösungen und welche sind dies?
>
> Hey, ich hab zu dieser Aufgabe eine Frage.
>
> Was bringt es, eine Gleichung mit [mm]x'[/mm] zu multiplizieren? Ich
Durch diese Multiplikation kannst Du dann eine geeignete Substitution
wählen um diese DGL auf eine Bernoullische DGL zurückzuführen.
> habe diesen Trick schon öfters gesehen, aber mir wirds
> nicht klar. Gibts hierzu irgendein Stichwort, nach dem ich
> mal googlen könnte?
>
> Gerade bei der Aufgabe: Kann ich da nicht einfach sagen
> [mm]x'=y[/mm]
> [mm]y'=x-x^2[/mm]
> und somit ist
> [mm]F(x,y)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{y^2}{2}[/mm] ein erstes
> Integral?
>
> Wie bekomme ich daraus das Phasenportrait? [mm]F[/mm] ist ja auf den
> Lösungen der DGL konstant. Setze ich da einfach [mm]F(x,y)=c[/mm],
> löse nach [mm]y[/mm] auf und zeiche die Funktion?
>
> Was hilft mir das erste Integral bei der
> Stabilitätsuntersuchung? Diskutiere ich dafür einfach die
> Funktion [mm]F(x,y)[/mm] durch und schaue nach Extrempunkten?
> Einfach dann die Jacobi-Matrix von [mm]F(x,y)[/mm] bestimmen und die
> beiden stationären Punkte (Nullstellen des Gradienten)
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] dort einsetzen und die
> Eigenwerte betrachten?
>
> Zur b): Muss man hier den Gradienten der Funktion [mm]F(x,y)[/mm]
> bestimmen und [mm]x'=y[/mm] und [mm]y'=x-x^2+\gamma y[/mm] setzen?
>
> Fragen über fragen...
> Hoffe, jemand hat Ahnung :)
>
> Danke und Gruß, Harris
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Danke für deine Antwort, aber ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich auf eine Bernoulli-DGL kommen soll...
Ich habe es jetzt weiter probiert und bin zu dem Ansatz gekommen:
[mm] $x''x'=x'(x-x^2)\Rightarrow\frac{1}{2}\int{x''x'}=\int{x'(x-x^2)}\Rightarrow\frac{1}{2}\int{((x')^2)'}=\int (x-x^2)$ [/mm] (Substitution im rechten Integral)
[mm] $\Rightarrow\frac{1}{2}(x')^2=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+c$
[/mm]
was ja das gleiche erste Integral ist (für $x'=:y$), wie in meinem ersten Post.
Stimmt das? Ist das der ganze "Trick"?
Gruß, Harris
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Hallo Harris,
> Hi!
>
> Danke für deine Antwort, aber ich habe überhaupt keine
> Ahnung, wie ich auf eine Bernoulli-DGL kommen soll...
>
> Ich habe es jetzt weiter probiert und bin zu dem Ansatz
> gekommen:
>
> [mm]x''x'=x'(x-x^2)\Rightarrow\frac{1}{2}\int{x''x'}=\int{x'(x-x^2)}\Rightarrow\frac{1}{2}\int{((x')^2)'}=\int (x-x^2)[/mm]
> (Substitution im rechten Integral)
>
> [mm]\Rightarrow\frac{1}{2}(x')^2=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+c[/mm]
>
> was ja das gleiche erste Integral ist (für [mm]x'=:y[/mm]), wie in
> meinem ersten Post.
>
> Stimmt das? Ist das der ganze "Trick"?
Nein, das stimmt leider nicht.
Die Ausgangsgleichung
[mm]x''=x-x^{2}+\gamma*x'[/mm]
wird mit [mm]x'[/mm] multipliziert:
[mm]x''*\blue{x'}=x*\blue{x'}-x^{2}*\blue{x'}+\gamma*x'*\blue{x'}[/mm]
Die Substitution [mm]z=x'*x'[/mm] liefert dann:
[mm]\bruch{1}{2}*z'=\left(x-x\right)*\wurzel{z}+\gamma*z[/mm]
Dies ist eine ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli-DGL.
Für [mm]\gamma=0[/mm] erhältst Du eine DGL,
die mittels Trennung der Veränderlichen lösbar ist:
[mm]\bruch{1}{2}*z'=\left(x-x\right)*\wurzel{z}[/mm]
> Gruß, Harris
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Fr 19.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der "Trick besteht darin, dass man an [mm] m/2*v^2 [/mm] =m/2*x'^2) denkt und falls Energieerhaltung gilt die änderung der kinetischen energie = der änderung der anderen energien ist. deshalb die multiplikation mit x'
deinen "Trick" mit x''=y' musst du begründen, während man
[mm] (x'^2/2)'=(x^2/2)'+x^3/)'
[/mm]
direkt integrieren kann! (Striche weg +c
und mit m multipliziert, direkt den Energiesatz! und die potentiell (Federenergie ) direkt da stehen hat!
deine lösg ist aber für /gamma=0 auch richtig, mit F(x,y)=c
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 21.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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