Multiplikationstabelle < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 2:
Es sei G := ({a, b, c, d, e, f},+) eine abelsche Gruppe. Vervollst¨andigen Sie die
folgende Multiplikationstabelle:
+ a b c d e f
a
b c e
c c a
d f a
e
f |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie komme ich auf die restlichen Zeilen der Tabelle?Ich
sitze seit fast 2 std dabei und habe keine einzige Idee wie ich überhaupt sowas anfangen könnte.Das einzige was ich raushabe ist , das a das neutrale Element sein muss.
Könnte mir vllt. jemand Hilfe geben wie ich sowas anpacken kann?
Bye bye Rafael
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 So 13.01.2008 | | Autor: | goll84 |
Also an der Aufgabe bin ich auch grade dran und was mich die ganze Zeit irritiert ist das + in einer Multiplikationstabelle hat das eine besondere bedeutung bei der aufgabe?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 So 13.01.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo Rafael und Sebastian und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
um erst mal Sebastians Frage zu beantworten: "Multiplikationstabelle" ist vieleicht ein etwas unglücklicher Begriff, mir wäre "Verknüpfungstabelle" lieber. Aber was eine "Multiplikation" und was eine "Addition" ist, ist bei reinen Gruppenbetrachtungen doch ziemlich egal - und folglich auch, welches Symbol man verwendet.
> Wie komme ich auf die restlichen Zeilen der Tabelle?Ich
> sitze seit fast 2 std dabei und habe keine einzige Idee
> wie ich überhaupt sowas anfangen könnte.Das einzige was ich
> raushabe ist , das a das neutrale Element sein muss.
Das ist ja schon mal was. Dann kannst Du ja schon die erste Zeile und die erste Spalte komplett ausfüllen.
Weil die Gruppe abelsch ist muss die Tabelleauch symmetrisch sein, also kann man schon mal für alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen stehen, den entsprechenden "umgekehrten" Eintrag ergänzen.
In der "c"-Zeile fehlen dann noch c+c, c+e und c+f (denn c+d haben wir ja schon aus d+c bestimmt). Wie man auf die drei Einträge kommen kann zeige ich mal kurz:
Weil b+b=c ist ja c+c = c+(b+b)=(c+b)+b=a+b=b.
Und wegen f=d+c hat man c+f=c+(d+c)=c+(c+d) = (c+c)+d=b+d=e.
Dann fehlt noch c+e, aber weil (G,+) ja eine Gruppe sein soll muss in jeder Zeile jeder Buchstabe genau einmal vorkommen. also bleibt nur c+e=d, denn alle anderen Buchstaben sind schon vergeben.
So, den Rest überlasse ich wieder euch...
Gruß
piet
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