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| Aufgabe | Bestimmen sie zur Matrix [mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\\2 &4 &2 } [/mm]
a)alle Matrizen B mit [mm] A*B=\pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
b) alle Matrizen C mit [mm] C*A=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0} [/mm]
c) alle Matrizen F mit [mm] A*F=F*A=\pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hinweis: Mache Sie für B, C bzw. F Ansätze in Form von Matrizen mit unbekannten Elementen |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle Interessierten,
Nach meinem logischen Verständnis müsste das Ergebnis bei allen Matrizen =0 sein. Denn wenn man mit 0 multipliziert ergibt das 0.
So einfach wird es bestimmt nicht sein, hier nun mein Ansatz:
Da bei a) B fehlt, müsste man doch mit der Nullmatrix dividieren um B herauszufinden. Geht ja bei Matrizen nicht - also die inverse Matrix suchen.
Aber die müsste doch für alle Aufgaben a) b) c) gleich sein oder? Wozu dann diese Aufgaben?
Ich steh total auf dem Schlauch und hab keinen Ansatz diese Aufgaben zu lösen...wer kann helfen?
Danke
gaessblom
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Hallo gaessblom, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hinweis: Mache Sie für B, C bzw. F Ansätze in Form von
> Matrizen mit unbekannten Elementen
...also [mm] M=\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }
[/mm]
> Nach meinem logischen Verständnis müsste das Ergebnis bei
> allen Matrizen =0 sein. Denn wenn man mit 0 multipliziert
> ergibt das 0.
Ok, das geht immer. Die Nullmatrix liefert das gewünschte Ergebnis. Aber ist das auch die einzige Lösung? Wenn ja, kannst Du das beweisen?
> So einfach wird es bestimmt nicht sein,
Eben.
> hier nun mein Ansatz:
>
> Da bei a) B fehlt, müsste man doch mit der Nullmatrix
> dividieren um B herauszufinden. Geht ja bei Matrizen nicht
> - also die inverse Matrix suchen.
Ansatz siehe oben. Du bekommst ein lineares Gleichungssystem mit den neun Variablen a bis i.
> Aber die müsste doch für alle Aufgaben a) b) c) gleich
> sein oder? Wozu dann diese Aufgaben?
Wieso? Gilt denn A*B=B*A allgemein?
> Ich steh total auf dem Schlauch und hab keinen Ansatz diese
> Aufgaben zu lösen...wer kann helfen?
Der Ansatz war mitgegeben, siehe oben.
> Danke
> gaessblom
Viel Erfolg!
reverend
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| Aufgabe | Hier die Gleichungen:
(1) 2a+1d+0g=0
(2) 1a+2d+1g=0
(3) 2a+4d+2g=0
(4) 2b+1e+0h=0
(5) 1b+2e+1h=0
(6) 2b+4e+2h=0
(7) 2c+1f+0i =0
(8) 1c+2f+1i=0
(9) 2c+4f+2i =0 |
Also erstmal danke für die Antwort: Bin jetzt schon einen Schritt weiter.
Nun hab ich ja 9 Gleichungen, die ich gleich null gesetzt hab. Richtig?
Gut aber was bringt mir das jetzt? Soll ich jetzt alle 9 Gleichungen auflösen?? Und wonach? Ich versteh es einfach nicht...
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(1) 2a+1d+0g=0
(2) 1a+2d+1g=0
(3) 2a+4d+2g=0
(4) 2b+1e+0h=0
(5) 1b+2e+1h=0
(6) 2b+4e+2h=0
(7) 2c+1f+0i =0
(8) 1c+2f+1i=0
(9) 2c+4f+2i =0
Wenn du die Matrix A mit deiner allgemeinen Matrix multipliziert hast und das rausgekommen ist stimmt dies , da ich mal davon ausgehe das du keinen Rechenfehler gemacht hast!
Nun gut was kann man hier nun machen - da du ja z.B in Zeile 1,4,7 ein Variable *0 hast fällt diese weg. Dadurch können wir eine Variable durch eine andere ausdrücken. Ich mache das mal beispielsweise , vielleicht erkennst du was du dann machst
1) 2a =- d
7) 2c = - f
(2) 1a+2d+1g=0 die haben wir , wir wissen aus 1) 2a=-d
-> 1a -4a+1g =0 [mm] \gdw [/mm] g=3a ..
Somit kannst du vielleicht alle Variablen durch eine ausdrücken?
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Di 29.12.2009 | | Autor: | distress |
Ich habe mich jetzt auch einmal mit der Aufgabe beschäftigt und bleibe jetzt leider hängen. Bis zum dem Punkt was Doppelnull erklärt hat, ist alles einleuchtend.
Meine weiteren Teillösungen sehen folgendermaßen aus.
(1) d=-2a
(2) g=3a
(4) e=-2b
(5) h=3b
(7) f=-2c
(8) i=3c
Gehe ich recht in der Annahme, dass ich die Variablen in der Matrix
[mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }
[/mm]
einsetzen kann, so dass dann folgende Matrix resultiert?
[mm] \pmat{ a & b & c \\ -2a & -2b & -2c \\ 3a & 3b & 3c }
[/mm]
Ist dieser Schritt zur endgültigen Lösung richtig?
Wenn ja, stehe ich jetzt an einem Punkt wo ich nicht genau weiß wie es weiter geht.
Muss ich diese Matrix nun mit der Ausgangsmatrix multiplizieren?
Wäre cool, wenn mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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Hallo!
Du bist mit Angabe dieser Matrix tatsächlich fertig, denn du hast eine allgemeine Matrix angegeben, die die geforderte Bedingung erfüllt. Und es gibt nicht nur eine Lösung, sondern unendlich viele. Du kannst für die drei Variablen a, b, c beliebige Zahlen einsetzen, die Matrix wird die Bedingung erfüllen.
Allerdings solltest du zur Probe die Matrixmultiplikation auch tatsächlich mal ausführen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Di 29.12.2009 | | Autor: | distress |
Vielen Dank für diese hilfreiche Auskunft. : )
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Di 12.01.2010 | | Autor: | Saerdna |
| Aufgabe | 1.) 2a + 1b + 2c = 0
2.) 1a + 2b + 4c = 0
3.) 0a + 1b + 2c = 0
4.) 2d + 1e + 2f = 0
5.) 1d + 2e + 4f = 0
6.) 0d + 1e + 2f = 0
7.) 2g + 1h + 2i = 0
8.) 1g + 2h + 4i = 0
9.) 0g + 1h + 2i = 0 |
Wie würde ich denn bei B x A vorgehen?
Hier komm ich leider nicht weiter egal wierrum ich das drehe.
Habe z.B. die 3. Gleichung Null gesetzt und dann ein Ergebniss mit b=-2c erhalten, Gleichung 6 das selbe mit dem Ergebniss e=-2f und bei Gleichung 9 das selbe mit dem Ergebniss h=-2i.
Nur wenn ich diese ergebnisse in die verbleibenden Gleichungen einsetzen will um ab usw zu bestimmen erhalte ich immer als Ergebniss 0.
Ich hoffe jemand kann mir das etwas näher bringen :)
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> 1.) 2a + 1b + 2c = 0
> 2.) 1a + 2b + 4c = 0
> 3.) 0a + 1b + 2c = 0
> 4.) 2d + 1e + 2f = 0
> 5.) 1d + 2e + 4f = 0
> 6.) 0d + 1e + 2f = 0
> 7.) 2g + 1h + 2i = 0
> 8.) 1g + 2h + 4i = 0
> 9.) 0g + 1h + 2i = 0
> Wie würde ich denn bei B x A vorgehen?
> Hier komm ich leider nicht weiter egal wierrum ich das
> drehe.
> Habe z.B. die 3. Gleichung Null gesetzt und dann ein
> Ergebniss mit b=-2c erhalten, Gleichung 6 das selbe mit dem
> Ergebniss e=-2f und bei Gleichung 9 das selbe mit dem
> Ergebniss h=-2i.
>
> Nur wenn ich diese ergebnisse in die verbleibenden
> Gleichungen einsetzen will um ab usw zu bestimmen erhalte
> ich immer als Ergebniss 0.
>
> Ich hoffe jemand kann mir das etwas näher bringen :)
Hallo,
letztendlich läuft es ja auf die Lösung von
> 1.) 2a + 1b + 2c = 0
> 2.) 1a + 2b + 4c = 0
> 3.) 0a + 1b + 2c = 0
hinaus.
Der Rest ist dasselbe in grün, also mit anderen Variablen.
Der Gaußalgorithmus ist bekannt? Ich gehe davon aus.
Die Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform gebracht: [mm] \pmat{\red{2}&1&2\\0&\red{1}&2\\0&0&0}.
[/mm]
Der Rang der Matrix ist kleiner als 3, wir werden also keine eindeutige Lösung bekommen.
Die führenden Zeilenelemente stehen in Spalte 1 und 2, also können wir die 3. Variable frei wählen:
[mm] c=\lambda
[/mm]
Die 2. Zeile teilt mit (was Du auch schon herausgefunden hast): b+2c=0, also
[mm] b=-2c=-2\lambda,
[/mm]
und der 1. Zeile entnehmen wir
[mm] a=\bruch{1}{2}*(-b-2c)=\lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] =0.
Damit steht die erste Zeile der Matrix B: [mm] \pmat{ 0&-2\lambda& \lambda\\ ...} [/mm] mit [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Die anderen kannst Du nun genauso ausrechnen. Verwende bloß jedesmal für die freie Variable einen anderen Buchstaben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 12.01.2010 | | Autor: | Saerdna |
Hi angela,
danke für deine Unterstützung,
der Schritt zu a = [mm] 0,5(-b-2c)=\lambda-\lambda=0 [/mm] ist mir noch unklar :)
Wenn ich die erste Formel umstelle nach a erhalte ich ja zunächst
2a=-b-2c
Ich nehme an ich dividiere nun einfach durch 2 um auf a zu kommen und erhalte dann
a=-0,5b-c nehme ich nun für c wieder [mm] \lambda
[/mm]
komme ich auf
[mm] a=-0,5b-\lambda
[/mm]
Wäre ich dann für a hier nicht schon fertig?
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Hallo,
> Hi angela,
>
> danke für deine Unterstützung,
> der Schritt zu a = [mm]0,5(-b-2c)=\lambda-\lambda=0[/mm] ist mir
> noch unklar :)
>
> Wenn ich die erste Formel umstelle nach a erhalte ich ja
> zunächst
>
> 2a=-b-2c ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich nehme an ich dividiere nun einfach durch 2 um auf a zu
> kommen und erhalte dann
>
> a=-0,5b-c nehme ich nun für c wieder [mm]\lambda[/mm]
genau das hat Angela gemacht: [mm] $a=\frac{1}{2}\cdot{}\left(-b-2c\right)$ [/mm] ist dasselbe ...
>
> komme ich auf
>
> [mm]a=-0,5b-\lambda[/mm]
>
> Wäre ich dann für a hier nicht schon fertig?
Du hast doch schon mit [mm] $c=\lambda$ [/mm] und Zeile 2 eine Lösung für $b$ (in Abhängigkeit von [mm] $\lambda$) [/mm] bestimmt, die musst du natürlich auch einsetzen, du willst ja schlussendlich Lösungen für $a,b,c$ haben ...
Mit [mm] $c=\lambda$ [/mm] und [mm] $b=-2\lambda$ [/mm] ist dann
[mm] $a=-0,5b-c=-0,5\cdot{}(-2\lambda)-\lambda=\lambda-\lambda=0$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 12.01.2010 | | Autor: | Saerdna |
Ja stimmt, bin ich ebend auch dann drauf gekommen :)
So nun wie bestimme ich nun die Matrix wenn gelten soll A x B = B x A?
Multipliziere ich einfach die beiden Matrizen die herraus kommen für A x B und B x A? Oder setze ich die 9 Gleichungen gleich?
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> Ja stimmt, bin ich ebend auch dann drauf gekommen :)
> So nun wie bestimme ich nun die Matrix wenn gelten soll A
> x B = B x A?
>
> Multipliziere ich einfach die beiden Matrizen die herraus
> kommen für A x B und B x A? Oder setze ich die 9
> Gleichungen gleich?
Hallo,
rechne AB und BA und setze dann die Einträge der beiden Matrizen gleich.
Gruß v. Angela
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