Muschelmetrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 07.10.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | | Kann man auf einem Sack voll mit Muscheln eine Metrik definieren??? |
Ich habe beim lernen das Problem, dass ich mir nix drunter vorstellen kann.
Was ist eine Metrik? Klar: eigenschaften, definition, bla,bla,bla.
Nur ich brauche Beispiele. Jetzt hab ich mir selber mal was ganz einfaches gedacht.
Ein Sack mit Muscheln, also M = Die Menge der Muscheln im sack.
Jede Muschel hat ein gewicht m, also definiere ich die Metrik [mm] d=|m_1-m_2| [/mm] (Gewichtsunterschied).
Dann gilt:
[mm] |m_1-m_1|=0
[/mm]
[mm] |m_1-m_2|=|m_2-m_1|
[/mm]
[mm] |m_1-m_3|\le|m_1-m_2|+|m_2-m_3|, [/mm] was ja im endefFekt von [mm] \IR [/mm] übertragen wird.
Also haben wir doch zum Beispiel eine Muschelmetrik.
Ist mein Sack kompakt? Ich würde sagen ja: endliche mengen sind kompakt!? Vollständig? Klar nein, aber kann ich sowas überhaupt definieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Kann man auf einem Sack voll mit Muscheln eine Metrik
> definieren???
> Ich habe beim lernen das Problem, dass ich mir nix drunter
> vorstellen kann.
Ich auch nicht... na und? 
> Was ist eine Metrik? Klar: eigenschaften, definition,
> bla,bla,bla.
>
> Nur ich brauche Beispiele. Jetzt hab ich mir selber mal was
> ganz einfaches gedacht.
>
> Ein Sack mit Muscheln, also M = Die Menge der Muscheln im
> sack.
> Jede Muschel hat ein gewicht m, also definiere ich die
> Metrik [mm]d=|m_1-m_2|[/mm] (Gewichtsunterschied).
>
> Dann gilt:
> [mm]|m_1-m_1|=0[/mm]
Naja, du hast das Problem dass verschiedene Muscheln das gleiche Gewicht haben können.
> [mm]|m_1-m_2|=|m_2-m_1|[/mm]
> [mm]|m_1-m_3|\le|m_1-m_2|+|m_2-m_3|,[/mm] was ja im endefFekt von
> [mm]\IR[/mm] übertragen wird.
Bis auf den kleinen Bug von oben hast du damit ne wunderbare Metrik definiert.
> Also haben wir doch zum Beispiel eine Muschelmetrik.
> Ist mein Sack kompakt? Ich würde sagen ja: endliche mengen
> sind kompakt!? Vollständig? Klar nein, aber kann ich sowas
> überhaupt definieren?
Klar kannst du das. Du kannst z.B. jede Menge mit der diskreten Metrik
[mm] $d(x,y)=\begin{cases}0&\text{falls }x=y\\1&\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
zu einem metrischen Raum machen.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Di 07.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest fuer die Veranschaulichung schon mathematische objekte nehmen, keine physikalischeb, da du dann die Gleichheit etwa von Massen nicht fesstellen kannst! Davon abgesehen, hast du ne Pseudometrik erzeugt, weil das Axiom wenn |m1-m2|=0 folgt m1=m2 nicht erfuellt ist. wenn das mathematische objekte waeren kann man oft durch 2 pseudometriken eine richtige erzeugen.
Ersetz deinen sack voll Muscheln durch ne Sammlung von Kreisen im [mm] \IR^2
[/mm]
1. Pseudometrik: Abstand zweier Kreise ist die Differenz ihrer Radien.
alle Axiome erfuellt, ausser dem Gleichheitsaxiom.
2. Pseudometrik: Abstand der Mittelpunkte, wieder dasselbe.
3. Echte Metrik: Summe aus Abstand der Mittelpunkte und Differenz der Radien. Jetzt ist leicht nachzuweisen dass das ne Metrik ist.
Natuerlich kannst du , axiomatisch gesehen mit der 0,1 Metrik von Robert aus allem ne Metrik machen, wo du Gleichheit wirklich fesstellen kannst.
Gruss leduart
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