NGS Lösen < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Jones09 |
Hallo zusammen,
ich habe aus einer Zeichnung heraus 3 geschlossene Vektorzüge aufgestellt und die daraus resultierenden 6 Gleichungen aufgestellt.
Die Gleichungen und Zeichnung findet ihr unter folgendem Link.
![[]](/images/popup.gif) [Externes Bild http://a.imagehost.org/t/0359/img004.jpg]
Jetzt habe ich 6 Gleichungen und 5 Unbekannte. Das sollte doch eigentlich zulösen sein!? Ich kriege es aber leider nicht hin. Ich habe es mit dem Einsetzverfahren probiert aber irgendwann kriege ich so große Gleichungen heraus das ich damit nicht mehr klar komme.
Wie würdet ihr dabei vorgehen? Kann man das auch mit Excel lösen? Ich habe es bereits mit dem Solver von Excel versucht aber ohne Erfolg.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de//forum/Bahnkurven-berechnen]
|
|
| |
|
Hallo Jones09,
> Hallo zusammen,
>
> ich habe aus einer Zeichnung heraus 3 geschlossene
> Vektorzüge aufgestellt und die daraus resultierenden 6
> Gleichungen aufgestellt.
> Die Gleichungen und Zeichnung findet ihr unter folgendem
> Link.
>
> [Externes Bild http://a.imagehost.org/t/0359/img004.jpg]
>
> Jetzt habe ich 6 Gleichungen und 5 Unbekannte. Das sollte
> doch eigentlich zulösen sein!? Ich kriege es aber leider
> nicht hin. Ich habe es mit dem Einsetzverfahren probiert
> aber irgendwann kriege ich so große Gleichungen heraus das
> ich damit nicht mehr klar komme.
>
> Wie würdet ihr dabei vorgehen? Kann man das auch mit Excel
> lösen? Ich habe es bereits mit dem Solver von Excel
> versucht aber ohne Erfolg.
>
Nun,wir haben die 3 Vektorgleichungen:
[mm] \left(1\right) \ V_{B_{0}B}+V_{BC}+V_{CF_{0}}+V_{F_{0}B_{0}}= \overrightarrow{0}[/mm]
[mm] \left(2\right) \ V_{F_{0}F}+V_{FD}+V_{DC}+V_{C}B_{0}}= \overrightarrow{0}[/mm]
[mm] \left(3\right) \ V_{B_{0}B}+V_{BD}+V_{DF}+V_{FF_{0}}+V_{F_{0}B_{0}}= \overrightarrow{0}[/mm]
Jetzt würde ich zunächst versuchen, die Gleichungen so zu reduzieren,
daß gleichviele Unbekannt wie Gleichungen vorhanden sind.
Hier bietet sich z.B. die Elimination von [mm]V_{B_{0}B}[/mm] an.
Elimierer diesen Vektor aus (1) und setze ihn in (3) ein.
Wie Du erwähnst, handelt es sich um ein nichtlineares Gleichungssystem,
das in der Regel durch ein Näherungsverfahren gelöst wird.
Da hier die Unbekannte [mm]\psi[/mm] durch die 4 anderen Unbekannten [mm]\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta[/mm] dargestellt wird, ergibt sich
folgendes nichtlineare Gleichungssystem:
[mm]f_{1} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0[/mm]
[mm]f_{2} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0[/mm]
[mm]f_{3} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0[/mm]
[mm]f_{4} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0[/mm]
Das Näherungsverfahren besteht nun darin diese Funktionen,
durch ihre Tangentialebene an den schon ermittelten Werten
darzustellen. und durch Lösung dieses linearen Gleichungssystems
einen neuen Wert berechnen.
Die Tangentialebene für [mm]f_{1}[/mm] an der Stelle [mm]\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)[/mm]
ergibt sich zu:
[mm]T_{1}\left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=f_{1}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)+\bruch{\partial f_{1}}{\partial \gamma}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)*\left( \gamma-\gamma_{alt}\right)[/mm]
[mm]+\bruch{\partial f_{1}}{\partial b}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)\left(b-b_{alt}\right)+\bruch{\partial f_{1}}{\partial \epsilon}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)\left(\epsilon
- \epsilon_{alt}\right)+\bruch{\partial f_{1}}{\partial \beta}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)\left(\beta
- \beta_{alt}\right)[/mm]
Das machst Du jetzt für alle Funktion [mm]f_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm]
Um jetzt einen neuen Wert zu berechnen, setzt man
[mm]T_{1}\left(\gamma_{neu}, \ b_{neu}, \ \epsilon_{neu}, \ \beta_{neu}\right)=0[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]0=f_{1}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)+\bruch{\partial f_{1}}{\partial \gamma}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)*\left( \gamma_{neu}-\gamma_{alt}\right)
+\bruch{\partial f_{1}}{\partial b}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)\left(b_ {neu}-b_{alt}\right)[/mm]
[mm]+\bruch{\partial f_{1}}{\partial \epsilon}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)\left(\epsilon_{neu}
- \epsilon_{alt}\right)+\bruch{\partial f_{1}}{\partial \beta}\left(\gamma_{alt}, \ b_{alt}, \ \epsilon_{alt}, \ \beta_{alt}\right)\left(\beta_{neu}
- \beta_{alt}\right)[/mm]
Zusammen mit den anderen 3 Tangentialebenen ergibt sich ein lineares
Gleichungssystem zur Bestimmung von [mm]\gamma_{neu}, \ b_{neu}, \ \epsilon_{neu}, \ \beta_{neu}[/mm]
Natürlich werden gewisse Anfangswerte für das Näherungsverfahren benötigt.
Desweiteren muß obiges lineare Gleichungssystem in jedem Schritt
neu aufgelöst werden.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.onlinemathe.de//forum/Bahnkurven-berechnen]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 29.08.2010 | | Autor: | Jones09 |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort.
Ich habe wie du gesagt hast [mm] V_{B_{0}B} [/mm] aus den Gleichung eleminiert.
Dann erhalte ich folgende zwei Gleichungen:
(1) [mm] V_{F_{0}}+V_{FD}+V_{DC}+V_{CF_{0}}
[/mm]
(2) [mm] V_{BD}+V_{DF}+V_{F_{0}F}-V_{BC}-V_{CF_{0}}
[/mm]
Ich bin mir allerdings nicht sicher ob die Vorzeichen richtig sind.
desweiteren erhalte ich ja dann diese Gleichungen:
(1.1) [mm] -l_{1}*cos(\Phi)-l_{2}*cos(\beta)+l_{3}*cos(\gamma)-b*cos(\epsilon) [/mm] = 0
(1.2) [mm] l_{1}*sin(\Phi)+l_{2}*sin(\beta)+l_{3}*sin(\gamma)-b*sin(\epsilon) [/mm] = 0
(2.1) [mm] (l_{6}-l_{5})*cos(\gamma)+l_{2}*cos(\beta)+l_{1}*cos(\phi)-b*cos(\epsilon)=0
[/mm]
(2.2) [mm] (l_{6}-l_{5})*sin(\gamma)-l_{2}*sin(\beta)-l_{1}*sin(\phi)-b*sin(\epsilon)=0
[/mm]
So jetzt zu den Tangentialebenen:
[mm] T_{1.1}= -l_{1}*cos(\Phi)-l_{2}*cos(\beta)+l_{3}*cos(\gamma)-b*cos(\epsilon)-l_{3}*sin(\gamma_{alt})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})-cos(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})+b*sin(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})+l_{2}*sin(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})
[/mm]
[mm] T_{1.2}= l_{1}*sin(\Phi)+l_{2}*sin(\beta)+l_{3}*sin(\gamma)-b*sin(\epsilon)+l_{3}*cos(\gamma_{alt})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})-sin(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})-b*cos(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})+l_{2}*cos(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})
[/mm]
[mm] T_{2.1}= (l_{6}-l_{5})*cos(\gamma)+l_{2}*cos(\beta)+l_{1}*cos(\phi)-b*cos(\epsilon)-sin(\gamma_{alt})*(l_{6}-l_{5})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})+sin(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})+b*sin(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})-l_{2}*sin(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})
[/mm]
[mm] T_{2.2}= (l_{6}-l_{5})*sin(\gamma)-l_{2}*sin(\beta)-l_{1}*sin(\phi)-b*sin(\epsilon)+cos(\gamma_{alt})*(l_{6}-l_{5})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})-sin(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})-b*cos(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})-l_{2}*cos(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})
[/mm]
Wenn ich diese jetzt gleich 0 setze hab ich mein lineares Gleichungssystem, alles korrekt soweit?
Und mit diesem Gleichungssystem kann ich dann die einzelnen neuen Werte für die Unbekannten errechnen in dem ich dieses umstelle und einsetze?
Und meine Anfangswerte kann ich frei wählen oder müssen diese schon nahe an der richtigen Lösung liegen? Und woher weiss ich wann ich am Ziel angekommen bin? Danke schonmal vorab.
Gruß,
Jones09
|
|
|
| |
|
Hallo Jones09,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort.
> Ich habe wie du gesagt hast [mm]V_{B_{0}B}[/mm] aus den Gleichung
> eleminiert.
> Dann erhalte ich folgende zwei Gleichungen:
>
> (1) [mm]V_{F_{0}}+V_{FD}+V_{DC}+V_{CF_{0}}[/mm]
> (2) [mm]V_{BD}+V_{DF}+V_{F_{0}F}-V_{BC}-V_{CF_{0}}[/mm]
>
> Ich bin mir allerdings nicht sicher ob die Vorzeichen
> richtig sind.
> desweiteren erhalte ich ja dann diese Gleichungen:
>
> (1.1)
> [mm]-l_{1}*cos(\Phi)-l_{2}*cos(\beta)+l_{3}*cos(\gamma)-b*cos(\epsilon)[/mm]
> = 0
> (1.2)
> [mm]l_{1}*sin(\Phi)+l_{2}*sin(\beta)+l_{3}*sin(\gamma)-b*sin(\epsilon)[/mm]
> = 0
> (2.1)
> [mm](l_{6}-l_{5})*cos(\gamma)+l_{2}*cos(\beta)+l_{1}*cos(\phi)-b*cos(\epsilon)=0[/mm]
> (2.2)
> [mm](l_{6}-l_{5})*sin(\gamma)-l_{2}*sin(\beta)-l_{1}*sin(\phi)-b*sin(\epsilon)=0[/mm]
>
> So jetzt zu den Tangentialebenen:
>
> [mm]T_{1.1}= -l_{1}*cos(\Phi)-l_{2}*cos(\beta)+l_{3}*cos(\gamma)-b*cos(\epsilon)-l_{3}*sin(\gamma_{alt})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})-cos(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})+b*sin(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})+l_{2}*sin(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})[/mm]
>
> [mm]T_{1.2}= l_{1}*sin(\Phi)+l_{2}*sin(\beta)+l_{3}*sin(\gamma)-b*sin(\epsilon)+l_{3}*cos(\gamma_{alt})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})-sin(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})-b*cos(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})+l_{2}*cos(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})[/mm]
>
> [mm]T_{2.1}= (l_{6}-l_{5})*cos(\gamma)+l_{2}*cos(\beta)+l_{1}*cos(\phi)-b*cos(\epsilon)-sin(\gamma_{alt})*(l_{6}-l_{5})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})+sin(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})+b*sin(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})-l_{2}*sin(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})[/mm]
>
> [mm]T_{2.2}= (l_{6}-l_{5})*sin(\gamma)-l_{2}*sin(\beta)-l_{1}*sin(\phi)-b*sin(\epsilon)+cos(\gamma_{alt})*(l_{6}-l_{5})*(\gamma_{neu}-\gamma_{alt})-sin(\epsilon_{alt})*(b_{neu}-b_{alt})-b*cos(\epsilon_{alt})*(\epsilon_{neu}-\epsilon_{alt})-l_{2}*cos(\beta_{alt})*(\beta_{neu}-\beta_{alt})[/mm]
>
> Wenn ich diese jetzt gleich 0 setze hab ich mein lineares
> Gleichungssystem, alles korrekt soweit?
> Und mit diesem Gleichungssystem kann ich dann die
> einzelnen neuen Werte für die Unbekannten errechnen in dem
> ich dieses umstelle und einsetze?
>
> Und meine Anfangswerte kann ich frei wählen oder müssen
> diese schon nahe an der richtigen Lösung liegen? Und woher
> weiss ich wann ich am Ziel angekommen bin? Danke schonmal
> vorab.
>
Ausgehend von den Gleichungen
[mm] f_{1} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0 [/mm]
[mm] f_{2} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0 [/mm]
[mm] f_{3} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0 [/mm]
[mm] f_{4} \left(\gamma, \ b, \ \epsilon, \ \beta\right)=0 [/mm]
Dann muss die Jacobi-Matrix
[mm]\pmat{\bruch{\partial f_{1}}{\partial \gamma} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial b} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial \epsilon} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial \beta} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial \gamma} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial b} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial \epsilon} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial \beta} \\ \bruch{\partial f_{3}}{\partial \gamma} & \bruch{\partial f_{3}}{\partial b} & \bruch{\partial f_{3}}{\partial \epsilon} & \bruch{\partial f_{3}}{\partial \beta} \\ \bruch{\partial f_{4}}{\partial \gamma} & \bruch{\partial f_{4}}{\partial b} & \bruch{\partial f_{4}}{\partial \epsilon} & \bruch{\partial f_{4}}{\partial \beta} }[/mm]
für die Anfangswerte invertierbar sein.
Das gilt auch für alle nachfolgenden berechneten Werte.
Die Anfangswerte müssen schon etwa in der Nähe des gesuchten Wertes liegen.
> Gruß,
> Jones09
Gruss
MathePower
|
|
|
|
