NST kubischer Gl. mehrerer Var < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 So 17.06.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | f(x,y) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] + [mm] 2*x^2y^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] - [mm] 2y^2
[/mm]
Gesucht sind lokale Extrema, es tauch bei der Berechnung das Problem auf die Nusllstellen einer kubischen Gleichung(en) mehrere Variable zu lösen. |
1) := [mm] \frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 4x^3 [/mm] + 4y^2x - 4x
2) := [mm] \frac{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] 4y^3 [/mm] + 4x^2y - 4y
Für die lokalen Extrema sucht man ja zunächst die kritischen Punkte, also jene mit:
[mm] \Delta [/mm] (andersrum) [mm] f(x_0) [/mm] = 0
d.h. gefragt ist, welche x und y erfüllen das nicht lineare LGS:
1) = 0
2) = 0
Kann mir jemand sagen, welche prinzipiellen Lösungsmöglichkeiten bei so einer Aufagbe hat?
Also mann kann ja z.B. mal so anfangen:
1) 4x [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 1)
und dann sieht man das bei x=0 y beliebig 1) eine NST hat.
Wenn man das mit 2) macht kommt man zum Schluss, dass (0,0) eine NST ist.
Aber wie kommt man auf die anderen zwei Lösungen?
Das Problem ist halt, dass die beiden Lösungen von einander abhängen.
Führen Äquivalenzumformunegn wie in einem LGS ev. zum Ziel?
Ich suche also nach einem möglichst enfachen Weg, der einem sicher zu den Nullstellen der obigen Gleichungen liefert.
Danke und Grüße
Murmel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mo 18.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo murmel
Dein Missverständnis ist, dass es genau 3 Lösungen gibt.
aber du hast ja hier z.Bsp beide Gl. sind 0 für [mm] x^2+y^2-1=0
[/mm]
also [mm] x^2+y^2=1 [/mm] dass sind alle Punkte die auf nem Kreis radius 1 um 0 liegen, also ziemlich viel mehr als 3!
f(x,y)=0 ist eine implizit gegebene Kurve im [mm] \IR^2. [/mm] dazu können natürlich auch isolierte Punkte wie bei dir (0,0) gehören, oder es können mehrere Kurven sein wie z. Bsp wenn du einfach als f(x,y) das Produkt zweier Kreise nimmst usw.
Also kein allgemeins Verfahren!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hallo Leduart,
na auch mal wieder nachtaktiv ;).
Ja da hast du natürlich Recht.
1) hat für ein festes y genau drei (ev. komplexe) Nullstellen.
Da es auf einem Intervall überabzählbar viele y gibt, kann das mit den drei natürlich nicht stimmen.
Dann kommme ich zu dem Schluss, dass
(0,0) sowie alle Punkte auf dem Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt.
kritische Punkte sind.
Ein Plot bestätigt das.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mal sehn wie man das dann weiterrechnet..:)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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