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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Fr 14.06.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Identität im [mm] $\mathbb{R}^3$: [/mm]
Gegeben sei [mm] $\vec{B}(\vec{r})$ [/mm] mit [mm] $\vec{\nabla}\vec{B}=0$. [/mm] Dann gilt
[mm] $\partial_j \left( \delta_{ij} \frac{1}{2} \vec{B}^2-B_i B_j\right)=\left(\vec{B}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)\right)_i$. [/mm] |
Hallo zusammen,
irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich wollte hier eigentlich irgendwie mit der Graßmann-Identität und dem Nabla-Kalkül arbeiten, aber irgendwie habe ich noch Probleme mit dem Nabla-Kalkül, da man ja anscheinend [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] als Vektor ansieht und damit auch so herumrechnet, dann aber doch noch beachten muss, auf was [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] denn dann überhaupt genau wirkt. Ich finde diese Schreibweise deswegen auch nicht sonderlich intuitiv. Ich komme außerdem, ehrlich gesagt, hier mit den Indizes durcheinander. Steht auf der linken Seite eine Summe in Einsteinscher Summenkonvention?
Wenn ich [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] jetzt einfach als Vektor betrachte, dann kann ich ja die rechte Seite folgendermaßen umformen (ich lasse im Folgenden mal die Vektorpfeile weg):
[mm] $\left(B\times\left(\nabla\times B\right)\right)_i=\left[B\cdot\langle B, \nabla\rangle - B\cdot\langle \nabla, B\rangle\right]_i$ [/mm]
Wie kann ich hier jetzt weiterrechen, und worauf wirkt [mm] $\nabla$ [/mm] jeweils überhaupt? Könnte ich hier auch alles wie beim normalen Skalarprodukt einfach umstellen, ohne sonst noch irgendwas zu beachten (wahrscheinlich nicht, aber diese Schreibweise ist mir irgendwie zu suggestiv)?
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Hallo,
> Beweisen Sie folgende Identität im [mm]\mathbb{R}^3[/mm]:
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> Gegeben sei [mm]\vec{B}(\vec{r})[/mm] mit [mm]\vec{\nabla}\vec{B}=0[/mm].
> Dann gilt
>
> [mm]\partial_j \left( \delta_{ij} \frac{1}{2} \vec{B}^2-B_i B_j\right)=\left(\vec{B}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)\right)_i[/mm].
>
> Hallo zusammen,
> irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich
> wollte hier eigentlich irgendwie mit der
> Graßmann-Identität und dem Nabla-Kalkül arbeiten, aber
> irgendwie habe ich noch Probleme mit dem Nabla-Kalkül, da
> man ja anscheinend [mm]\vec{\nabla}[/mm] als Vektor ansieht und
> damit auch so herumrechnet, dann aber doch noch beachten
> muss, auf was [mm]\vec{\nabla}[/mm] denn dann überhaupt genau
> wirkt. Ich finde diese Schreibweise deswegen auch nicht
> sonderlich intuitiv.
Nicht intuitiv? Doch doch ;)
Schauen wir uns einfach mal an, wie das Ding eigentlich aussieht ;) Ich lasse übrigens auch die Vektorpfeile weg.
[mm] \nabla=\left(\frac\partial {\partial x}, \frac\partial {\partial y}, \frac\partial {\partial z}\right)
[/mm]
Wirkt [mm] \nabla [/mm] nun auf eine Funktion [mm] f:\IR^3\to\IR, [/mm] so ist das genau der Gradient, wir haben also einen Vektor der Art:
[mm] \nabla{}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
[/mm]
Wenn [mm] \nabla [/mm] auf ein Vektorfeld [mm] V:\IR^3\to\IR^3 [/mm] wirkt, erhalten wir die Divergenz
[mm] \nabla{V}=\frac{\partial V_1}{\partial x}+\frac{\partial V_2}{\partial y}+\frac{\partial V_3}{\partial z}
[/mm]
Das sind die wichtigsten Regeln, die du hier vermutlich brauchst und wissen solltest.
> Ich komme außerdem, ehrlich gesagt,
> hier mit den Indizes durcheinander. Steht auf der linken
> Seite eine Summe in Einsteinscher Summenkonvention?
>
> Wenn ich [mm]\vec{\nabla}[/mm] jetzt einfach als Vektor betrachte,
> dann kann ich ja die rechte Seite folgendermaßen umformen
> (ich lasse im Folgenden mal die Vektorpfeile weg):
>
> [mm]\left(B\times\left(\nabla\times B\right)\right)_i=\left[B\cdot\langle B, \nabla\rangle - B\cdot\langle \nabla, B\rangle\right]_i[/mm]
>
> Wie kann ich hier jetzt weiterrechen, und worauf wirkt
> [mm]\nabla[/mm] jeweils überhaupt? Könnte ich hier auch alles wie
> beim normalen Skalarprodukt einfach umstellen, ohne sonst
> noch irgendwas zu beachten (wahrscheinlich nicht, aber
> diese Schreibweise ist mir irgendwie zu suggestiv)?
Zur Lösung des Problems:
Ich würde dir zur Lösung die Thematik des Epsilon-Tensors ans Herz legen. Zu finden ist da einiges bei Wikipedia auch unter dem Namen des Levi-Civita-Symbols. Dieses Kalkül hilft dir ungemein die rechte Seite umzuformen. Falls du noch einmal Hilfe brauchst: Bitte erneut melden. Die hässlichen Kreuzprodukte wirst du so einfach aber nicht los (mit den Schulmitteln), daher bietet sich die [mm] \epsilon-Variante [/mm] wirklich an.
Hinweis zur Übersichtlichkeit.
Es ist sinnvoll hier eine andere Schreibweise einzuführen. [mm] B_x, B_y [/mm] und [mm] B_z [/mm] sollen logischerweise die Komponenten von [mm] \vec{B} [/mm] bezeichnen. Und setze einfach [mm] \frac{\partial}{\partial x}\equiv\partial_x. [/mm] Die anderen Komponenten entsprechend. Dadurch wird alles besser nachvollziehbar. Ist aber nur ein Tipp und keine Notwendigkeit.
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Hallo Richie,
also ehrlich gesagt bringt mich die Verwendung vom [mm] $\epsilon$-Tensor [/mm] jetzt auch nicht wirklich weiter. Ich poste mal, was ich bis jetzt habe:
[mm] $\left(B\times\left(\nabla\times B\right)\right)_k [/mm] = [mm] \epsilon_{ijk} B_i\left(\nabla\times B\right)_j [/mm] = [mm] \epsilon_{ijk} B_i \epsilon_{lmj} (\partial_l B_m) [/mm] = [mm] (\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il}) B_i \cdot (\partial_l B_m)=B_i(\partial_k B_i)+B_m(\partial_k B_m)+B_i(\partial_l B_i)+B_m(\partial_l B_m)-B_i(\partial_i B_k)-B_l(\partial_l B_k)-B_i(\partial_i B_m)-B_l(\partial_l B_m)$ [/mm]
Das sieht jetzt, ehrlich gesagt, noch hässlicher aus als vorher, wenn ich mich mit dem [mm] $\epsilon$-Tensor [/mm] nicht verrechnet habe... Müsste die Divergenz hier irgendwo auftauchen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 17.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] $\vec{B}=\text{const.}$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $-\frac{1}{2}\vec{\nabla} \times \left( \vec{r}\times\vec{B}\right)=\vec{B}$. [/mm] |
Hallo nochmal,
anscheinend mache ich hier grundlegend etwas falsch, zumindest wenn ich es ohne Epsilon-Tensor versuche. Könntet ihr mir den Fehler in meiner folgenden Rechnung erklären?
[mm] $-\frac{1}{2}\nabla \times [/mm] ( [mm] r\times [/mm] B [mm] )\overset{\star}{=}-\frac{1}{2}\left(\nabla \times ( \overset{\downarrow}{r}\times B )+\nabla \times (r \times \overset{\downarrow}{B})\right)\overset{\star\star}{=}-\frac{1}{2}\left( \langle \nabla, B\rangle \overset{\downarrow}{r}-\langle \nabla, \overset{\downarrow}{r}\rangle B + \langle \nabla, \overset{\downarrow}{B}\rangle r-\langle \nabla, r\rangle \overset{\downarrow}{B}\right)=-\frac{1}{2}\left( B - B +0\cdot r-0\right)=0$
[/mm]
Wobei ich bei [mm] $\star$ [/mm] die Produktregel (die Pfeile sollen jeweils zeigen, worauf [mm] $\nabla$ [/mm] wirkt), und bei [mm] $\star\star$ [/mm] zweimal die Graßmann-Identität [mm] $a\times(b\times c)=\langle [/mm] a, [mm] c\rangle [/mm] b - [mm] \langle [/mm] a, [mm] b\rangle [/mm] c$ verwendet habe.
Das, was ich da gemacht habe, ist ja anscheinend falsch, denn WolframAlpha spuckt auch die gewünschte Identität aus, aber wo liegt hier der Fehler? Ich würde das Ganze nämlich nur höchst (!) ungern koordinatenweise ausrechnen.
Edit: [mm] $-\frac{1}{2}\nabla \times [/mm] ( [mm] r\times [/mm] B [mm] )\overset{\star}{=}-\frac{1}{2}\left(\nabla \times ( \overset{\downarrow}{r}\times B )+\nabla \times (r \times \overset{\downarrow}{B})\right)\overset{\star\star}{=}-\frac{1}{2}\left( \langle \nabla, B\rangle \overset{\downarrow}{r}-\langle \nabla, \overset{\downarrow}{r}\rangle B + \langle \nabla, \overset{\downarrow}{B}\rangle r-\langle \nabla, r\rangle \overset{\downarrow}{B}\right)=-\frac{1}{2}\left( B - \textcolor{red}{3}B +0\cdot r-0\right)=\textcolor{red}{B}$
[/mm]
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Hallo Lustique,
Ich zeige dir an diesem Beispiel, wie man mit nur wenigen Zeilen die Identität zeigen kann.
[mm] $-\frac{1}{2}\vec{\nabla} \times \left( \vec{r}\times\vec{B}\right)=\vec{B}$
[/mm]
Wir wollen die l-te Komponente des entstehen Vektors berechnen. Ich nutze zur Berechnung den [mm] \epsilon-Tensor. [/mm] Versuch es einfach zu verstehen, es hilft dir wirklich solche Identitäten sehr schnell zu lösen!
Eine noch sehr wichtige genutzte Identität ist die folgende: [mm] \varepsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}. [/mm] Dabei ist [mm] \delta [/mm] das Kronecker-Symbol. All diese Rechenregeln findest du ja aber auch in dem Wikipedia-Artikel zum [mm] \epsilon-Tensor.
[/mm]
So, nun gehts los. Um Schreibarbeit zu erparen, lasse ich mal den Faktor -1/2 zunächst weg.
[mm] \left(\nabla\left( \vec{r}\times\vec{B}\right)=\vec{B}\right)_l
[/mm]
[mm] =\nabla\times(\varepsilon_{ijk}r_jB_k)=\varepsilon_{lmi}\partial_m(\varepsilon_{ijk}r_jB_k)
[/mm]
[mm] =\varepsilon_{lmi}\varepsilon_{ijk}\partial_mr_jB_k
[/mm]
[mm] =(\delta_{lj}\delta_{mk}-\delta_{lk}\delta_{jm})\partial_mr_jB_k
[/mm]
[mm] =\delta_{lj}\delta_{mk}\partial_mr_jB_k-\delta_{lk}\delta_{jm}\partial_mr_jB_k
[/mm]
[mm] =\partial_m(r_lB_m)-\partial_m(r_mB_l)
[/mm]
[mm] =(\partial_mr_l)B_m+\underbrace{r_l\partial_mB_m)}_{=0,\ da\ B=const}-((\partial_mr_m)B_l+\underbrace{r_m\partial_mB_l)}_{=0,\ da\ B=const})
[/mm]
[mm] =\delta_{lm}B_m-3B_l
[/mm]
[mm] =-2B_l
[/mm]
Und daraus folgt dann die Behauptung, schließlich müssen wir ja noch den Faktor beachten. Damit ist alles gezeigt.
Noch ein paar Erklärungen:
Warum gilt [mm] (\partial_mr_l)B_m=B_l [/mm] ?
Nun, anschaulich: wenn wir die y-Komponente nach x ableiten, dann ist das natürlich 0. Also gibt es die Ableitung nur, wenn l und m übereinstimmen, also genau das Kroneckersymbol. Und absummiert wird dann über [mm] B_m.
[/mm]
Warum ist [mm] (\partial_mr_m)B_l=3B_l [/mm] ?
Ganz einfach: Es wird über m summiert. Daher entsteht der Faktor 3.
Ich hoffe ist alles übersichtlich und verständlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Lustique |
Hallo Richie,
ich hatte mir deinen Beitrag schon vor ca. einer Woche durchgelesen, dann aber vergessen mich zu bedanken, also danke noch mal für deine Mühe!
Nichtsdestotrotz funktionierten aber auch alle Aufgaben tatsächlich mithilfe der Graßmann-Identität, wenn man genau aufpasst, was [mm] $\nabla$ [/mm] tut, und jede Menge umformt. Ich habe das Ganze nämlich auch noch mal so gelöst.
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