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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 30.06.2005 | | Autor: | Yuki |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Prinzipiell hab ich das mit der Ableitung ja verstanden, also, Kettenregel usw. Nur das mit dem Nachdifferenzieren hab ich noch nicht ganz raus. Meine Frage ist: Wann muss ich nachdifferenzieren und wie sieht das aus, vor allem, wenn mehrere Regeln angewandt werden müssen?
danke
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hm, warum man das machen muss, kann ich nicht so einfach erklären...das erklärt sich mit der Herleitung der Regel....
Aber dass man es machen muss wird schnell einsichtig, wenn man sich z.B. folgedens betrachtet:
[mm] (x^2)^3
[/mm]
würde man nur die äußere Ableitung bilden, käme man auf 3 * [mm] ({x}^2)^2 [/mm] = [mm] 3x^4
[/mm]
wandelt man aber vorher in x^(6) um erhält man als Ableitung [mm] 6x^5, [/mm] das zeigt also, dass da noch was gemacht werden muss, damit es richtig wird.
Wie man herangehen kann:
Nehmen wir als Beispiel:
f(x) = [mm] e^x [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^2-x}
[/mm]
jetzt legen wir fest:
[mm] u=e^x [/mm] und v= [mm] \bruch{1}{x^2-x} \Rightarrow [/mm] f(x) = u * v (wobei u und v beide von x abhängen!!)
Damit ist f'(x) = u' * v + v' *u (Produktregel)
nun ist v aber wieder eine Verkettung, wenn du z.B. z = [mm] x^2-x [/mm] setzt, dann haben wir v = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] und v' = z' * [mm] (\bruch{-1}{z^2} [/mm] Kettenregel. So hast du alles relativ übersichtlich geschrieben und erhälst nun:
f'(x) = u' * v + z' * [mm] (\bruch{-1}{z^2} [/mm] * u
das sieht jetzt vielleicht furchtbar aus, weil soviele Variablen vorkommen, aber wenn du Rechnungen z.B. auf der linken Seite des Heftes/Zettels durchführst und dir getrennt davon auf der rechten Seite sauber notierst, was du wie ersetzt hast, kannst du das nachher sehr schön einfach zusammensuchen und behälst eine gute Übersicht!
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] e^x [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^2-x} [/mm] + [mm] (2x-1)*\bruch{-1}{(x^2-x)^2}
[/mm]
Wichtig dabei ist, dass du alles, was von x abhängt, auch immer so behandelst, also dass z keine konstante ist, die wegfällt, sondern, dass du erstmal z' hinschreibst und in einem nächsten Schritt z'(x) berechnest!!
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter
Gruß Tran
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Hi, Yuki,
am besten, Du hältst Dich zunächst mal an die Faustregel:
"Klammern werden nachdifferenziert!"
Beispiele:
(1) f(x) = [mm] (x^{2}-3)^{5}; [/mm] => f'(x) = [mm] 5*(x^{2}-3)^{4}*2x [/mm] = [mm] 10x*(x^{2}-3)^{4}
[/mm]
(2) f(x) = sin(3x+4); => f'(x) = cos(3x+4)*3 = 3*cos(3x+4)
(3) f(x) = [mm] e^{x^{2}+x} [/mm] schreib' ich z.B. immer so: f(x) = [mm] e^{(x^{2}+x)};
[/mm]
=> f'(x) = [mm] e^{(x^{2}+x)}*(2x+1) [/mm] = [mm] (2x+1)*e^{(x^{2}+x)}
[/mm]
(4) f(x) = [mm] ln(x^{4}+2) [/mm] => f'(x) = [mm] \bruch{1}{x^{4}+2}*4x^{3} [/mm] = [mm] \bruch{4x^{3}}{x^{4}+2}
[/mm]
Kommst Du nun ein bissl weiter?
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