Nachweis Formel Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien [mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n} [/mm] unabhängige und identisch verteilte und von 0 verschiedene Zufallsvariablen. Man zeige, dass dann gilt:
[mm] $E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + ... + X_{n}}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
(E(X) ist der Erwartungswert von X) |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe fehlt mir der Ansatz.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß ob die Zufallsvariablen stetig oder diskret sind, soll ich beide Fälle behandeln? Weil nur mit den Regeln, die wir für den Erwartungswert hatten (Im Wesentlichen Linearität) komme ich hier nicht weit...
Das grundsätzliche Problem ist ja der Bruch. Eigentlich müsste ich ja nur versuchen, den Bruch irgendwie in eine Summe umzuwandeln, aber da ist mir kein Weg eingefallen.
Kann mir jemand einen kleinen Ansatz geben?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 So 22.11.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> Das grundsätzliche Problem ist ja der Bruch. Eigentlich
> müsste ich ja nur versuchen, den Bruch irgendwie in eine
> Summe umzuwandeln, aber da ist mir kein Weg eingefallen.
Die Untersuchung von
[mm] $E\left(\frac{X_{1} + \ldots + X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
müsste eigentlich zum Ziel führen...
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke Marc, für deine Antwort.
> Die Untersuchung von
>
> [mm]E\left(\frac{X_{1} + \ldots + X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right) = \ldots[/mm]
>
> müsste eigentlich zum Ziel führen...
Danke für den Tipp!
Ich kann ja einerseits sagen, dass es 1 ist, und auf der anderen Seite kann ich umformen zu:
$1 = [mm] E\left(\frac{X_{1} + \ldots + X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right) [/mm] = [mm] E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}+\ldots + \frac{X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)$
[/mm]
Ich vermute, dass ich jetzt die Linearität des Erwartungswerts ausnutzen darf?
$= [mm] E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)+\ldots [/mm] + [mm] E\left(\frac{X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)$.
[/mm]
Und nun denke ich, kommt die Eigenschaft der [mm] X_{i} [/mm] zum Zug, dass sie identisch verteilt sind und ich kann sagen:
$= [mm] n*E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)$,
[/mm]
womit die Formel bewiesen wäre. Aber: ich habe noch die Frage, warum ich diesen letzten Schritt machen darf. Darf ich wegen der "Identischverteiltheit" der [mm] X_{i} [/mm] einfach sagen, dass
[mm] $E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] E\left(\frac{X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)$
[/mm]
ist?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> > Die Untersuchung von
> >
> > [mm]E\left(\frac{X_{1} + \ldots + X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right) = \ldots[/mm]
>
> >
> > müsste eigentlich zum Ziel führen...
>
> Danke für den Tipp!
> Ich kann ja einerseits sagen, dass es 1 ist, und auf der
> anderen Seite kann ich umformen zu:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]1 = E\left(\frac{X_{1} + \ldots + X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right) = E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}+\ldots + \frac{X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)[/mm]
>
> Ich vermute, dass ich jetzt die Linearität des
> Erwartungswerts ausnutzen darf?
Ja, warum die Unsicherheit? Summen im Erwartungswert darf man immer umwandeln.
> [mm]= E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)+\ldots + E\left(\frac{X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)[/mm].
>
> Und nun denke ich, kommt die Eigenschaft der [mm]X_{i}[/mm] zum Zug,
> dass sie identisch verteilt sind und ich kann sagen:
> [mm]= n*E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)[/mm],
>
> womit die Formel bewiesen wäre. Aber: ich habe noch die
> Frage, warum ich diesen letzten Schritt machen darf. Darf
> ich wegen der "Identischverteiltheit" der [mm]X_{i}[/mm] einfach
> sagen, dass
>
> [mm]E\left(\frac{X_{1}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right) = \ldots = E\left(\frac{X_{n}}{X_{1} + \ldots + X_{n}}\right)[/mm]
>
> ist?
Ja, denn identisch verteilt heißt doch: [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] nehmen ihre (Funktions-) Werte mit denselben Wahrscheinlichkeiten an (aber eben nicht, dass [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] für jedes Elementarereignis denselben Funktionswert haben, also [mm] $X_1=\ldots=X_n$).
[/mm]
Daher sind dann auch [mm] $\frac{X_1}{X_1+\ldots+X_n},\ldots,\frac{X_n}{X_1+\ldots+X_n}$ [/mm] identisch verteilt und damit die Erwartungswerte identisch.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Marc,
danke für die Antwort 
Jetzt akzeptiere ich meinen Beweis.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
