Nachweis Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 20.10.2012 | | Autor: | drossel |
Hallo,
F sei eine ganze Zahl, welche kein Quadrat ist, das bedeutet der Vektorraum über [mm] \IQ M=sp\{1, \wurzel{F}\} [/mm] hat Dimension 2. Wie zeigt man, dass M ein Körper ist, ohne die ganzen Axiome durchzugehen?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Sa 20.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
M entspricht der Körpererweiterung [mm] \IQ(\wurzel{F}). [/mm] Wobei [mm] \{1,\wurzel{F}\} [/mm] eine [mm] \IQ [/mm] Basis von [mm] \IQ(\wurzel{F}) [/mm] ist....
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 20.10.2012 | | Autor: | drossel |
hallo,
danke für deine Antwort. Körpererweiterungen sagen mir noch nichts, aber ich weiss glaub ich, was du mit Körpererweiterungen meinst...
Wenn man doch die Axiome durchgeht..
Also da [mm] \IQ \subset [/mm] M ist, schränkt das vielleicht schon das ein, was zu zeigen ist? Wenn ja, was bekommt man denn da, zB. das 1 das neutrale Element der Multiplikation ist?
Hilft einem [mm] M\subset \IC [/mm] etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Sa 20.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, also wenn dus nachrechnen willst musst dir halt überlegen, wie die Elemente in dem Vektorraum ausschauen. Das sind schonmal alle Elemente von [mm] \IQ [/mm] und zusätzlich alle Elemente der Form [mm] \IQ*\wurzel{F}. [/mm] Am neutralen Element der Multiplikation und der Addidtion wird sich also schonmal nix ändern. Wie schaut denn das Inverse Element zu [mm] $q\wurzel{F}$ [/mm] mit $q [mm] \in \IQ$ [/mm] aus?
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 So 21.10.2012 | | Autor: | drossel |
Achso, vielen Dank.
Das additive Inverse zu [mm] q\wurzel{F} [/mm] dann dementsprechend [mm] -q\wurzel{F} [/mm] und das multiplikative Inverse zu [mm] q\wurzel{F} [/mm] für [mm] F\not=0 [/mm] ist [mm] \frac{1}{F}\wurzel{F} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 So 21.10.2012 | | Autor: | teo |
> Achso, vielen Dank.
> Das additive Inverse zu [mm]q\wurzel{F}[/mm] dann dementsprechend
> [mm]-q\wurzel{F}[/mm] und das multiplikative Inverse zu [mm]q\wurzel{F}[/mm]
> für [mm]F\not=0[/mm] ist [mm]\frac{1}{F}\wurzel{F}[/mm] ?
F = 0 ist doch sowieso ausgeschlossen...
Es ist: [mm] $q\wurzel{F}*\frac{1}{F}\wurzel{F} [/mm] = q$... da fehlt also noch was  so aufwendig isses also gar nich...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 So 21.10.2012 | | Autor: | drossel |
Ups, ich lag grad eigentlich schon im Bett da ist mir das auch aufgefallen^^ , okay, dann ist für q [mm] \not=0 \frac{1}{q}\frac{1}{F}\wurzel{F} [/mm] das zu [mm] q\wurzel{F} [/mm] multiplikative Inverse?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 21.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ja genau!
Grüße
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