Nachweis Pol m. Vorz.wechsel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 04.06.2006 | | Autor: | Anna84 |
| Aufgabe | | f(x)=(x-1)/(x²-1) |
Hallo,
ich beschäftige mich momentan mit dem Thema "Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen"...diese ganze Sache ist mir leider nur so mehr oder weniger klar...
Zu der Aufgabe f(x)=(x-1)/(x²-1) habe ich folgende Frage:
Wie kann man hier zeigen, dass ein Pol mit Vorzeichenwechsel vorliegt???
Der Grenzwert, wenn x gegen 1 strebt, ist doch 1/2; ein Pol liegt doch nur dann vor, wenn bei Annäherung an 1 die Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich gehen, oder?
Vielleicht hilft es mir schon weiter, wenn mir jemand anschaulich erklären könnte, was genau ein "Pol mit Vorzeichenwechsel" ist?
Danke schonmal für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
mir scheint, du betrachtest die falsche Stelle. Bei x=1 gibt es keinen Pol sondern eine Lücke.
Die Polstelle, die du suchst, liegt bei x=-1. Hier ist es tatsächlich so, dass die Funktion von links gegen [mm] -\infty [/mm] und von rechts gegen [mm] +\infty [/mm] strebt.
Das heißt, du hattest mit deinem Verständnis von Polstellen Recht.
Wie zeigen wir nun den Vorzeichenwechsel? Grenzwerte von links und von rechts bilden:
von links:
[mm] \limes_{h\rightarrow{+0}} \bruch{(-1-h)-1}{(-1-h)^2-1} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow{+0}} \bruch{1}{(-1-h)+1} [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow{+0}} \bruch{1}{-h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow{+0}} -\bruch{1}{h}
[/mm]
= [mm] -\infty
[/mm]
von rechts:
[mm] \limes_{h\rightarrow{+0}} \bruch{(-1+h)-1}{(-1+h)^2-1} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow{+0}} \bruch{1}{(-1+h)+1} [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow{+0}} \bruch{1}{h}
[/mm]
= [mm] \infty
[/mm]
Wir sehen also verschiedene Vorzeichen, je nach dem, ob wir uns der Polstelle von links oder von rechts nähern!
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 So 04.06.2006 | | Autor: | Anna84 |
Dankeschön! Ich bin total geplättet, wie simpel es doch eigentlich ist... aber irgendwann wird man beim Lernen wohl doch "betriebsblind"...!!!
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