Nachweis, dass lin Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Sa 19.11.2011 | | Autor: | nee |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen linear sind:
a) [mm] f:\IR \to \IR^2 [/mm] mit f(x):= (x,-x)
b) [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] mit f(x,y):= [mm] (x+y+1)^2-(x+y-1)^2
[/mm]
c) [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] mit f(x,y):= [mm] (x-y)^2 -(x+y)^2
[/mm]
d) F: V [mm] \to \IR [/mm] mit V dem Vektorraum aller Funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit F(f):=f(0) |
Mir ist bekannt, dass ich Homogenität und Additivität nachweisen muss, um sagen zu können, dass eine Abbildung linear ist.
Ich weiß nur nicht, wie ich den Formalismus auf die einzelnen Aufgaben anwende.
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand eine Beispielrechnung posten könnte, anhand derer erkennbar ist, wie das Ganze angewandt wird.
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> Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen linear sind:
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> a) [mm]f:\IR \to \IR^2[/mm] mit f(x):= (x,-x)
> b) [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit f(x,y):= [mm](x+y+1)^2-(x+y-1)^2[/mm]
> c) [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit f(x,y):= [mm](x-y)^2 -(x+y)^2[/mm]
> d) F: V
> [mm]\to \IR[/mm] mit V dem Vektorraum aller Funktionen f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> mit F(f):=f(0)
> Mir ist bekannt, dass ich Homogenität und Additivität
> nachweisen muss, um sagen zu können, dass eine Abbildung
> linear ist.
> Ich weiß nur nicht, wie ich den Formalismus auf die
> einzelnen Aufgaben anwende.
>
> Ich wäre dankbar, wenn mir jemand eine Beispielrechnung
> posten könnte, anhand derer erkennbar ist, wie das Ganze
> angewandt wird.
Beispiel [mm]f(\blue{x})=\blue{x}-5\blue{x}[/mm] ist linear
Nimm dir x,y beliebig und zeige [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm]
konkret: [mm]f(\blue{x+y})=(\blue{x+y})-5\blue{(x+y})=\red{x-5x}+\green{y-5y}=\red{f(x)}+\green{f(y)}[/mm]
und genauso [mm]\lambda,x\in \IR[/mm] z.z. [mm]f(\blue{\lambda x})=\lambda f(x)[/mm]
konkret [mm]f(\blue{\lambda x})=\blue{\lambda x}-5\blue{\lambda x}=\lambda \green{(x-5x)}=\lambda \green{f(x)}[/mm]
Beispiel [mm]f(x)=x-5[/mm] ist nicht linear
konkret: [mm]f(x+y)=(x+y)-5=x-5+y\neq f(x)+f(y)[/mm]
Da genügt es ein Gegenbeispiel anzugeben x=1,y=0
[mm]f(x+y)=f(1+0)=-4\neq -9=-4-5=f(x)+f(y)\;[/mm]
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