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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Im Raum [mm] (\IR[x], [/mm] +, *) seien die Elemente [mm] f_{i} [/mm] definiert durch [mm] f_{i}=x^i [/mm] , i=0.1.2
a) Weiter sei g definiert durch g(x)=(2-x)(1+x). Prüfen sie, ob es a,b,c [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass gilt [mm] f_{1}=a*f_{0}+bf_{2}+cg
[/mm]
b) Wir definieren die Skalarmultiplikation auf [mm] \IR[x] [/mm] um, so dass c*f(x):=f(cx) für f [mm] \in \IR[x] [/mm] und c [mm] \in \IR. [/mm] Die Addition sei wie üblich. Ist [mm] \IR[x] [/mm] jetzt noch ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] |
Guten Abend,
ich glaube ich habe die Aufgabe gelöst (bin mir allerdings nicht sicher) und hätte gerne eine "Bestätigung" bzw. Erklärung von euch, damit ich es auch kapiere.
a) Setzt mal alles ein und löst auf kommt man auf:
[mm] x=a+bx^2-cx^2+2c+cx
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0= [mm] bx^2-cx^2+cx-x+2x+a
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0= [mm] (b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)
[/mm]
So in der Übung haben wir gesagt eine Gleichung der Form [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm] lässt sich Vektoriell so schreiben: [mm] \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Also entspricht die 1. Zeile dem Koeffizienten vor [mm] x^2 [/mm] usw.
Nun haben wir die Gleichun umgeschrieben zu:
0= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}x^2+\vektor{0 \\ 1 \\ 0}x+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Diese Vektoren sind alle linear unabhänig.
So mehr haben wir dazu nicht gemacht. Die Umformung verstehe ich soweit, nur warum habe ich damit gezeigt, dass es ein a,b,c aus [mm] \R [/mm] gibt, für die obige Gleichung gilt?
b)Bin mir nicht sicher, aber denke ich muss nun überprüfen ob die Rechenregel für die Multiplikation mit Skalaren weiterhin gelten. (Die Addition bleibt ja unverändert)
Die Gesetze wären:
1. [mm] (\lambda+\mu)*\vec{x}=\lambda\vec{x}+\mu\vec{x}
[/mm]
2. [mm] \lambda(\vec{x}+\vec{y})=\lambda\vec{x}+\lambda\vec{y}
[/mm]
3. [mm] (\lambda\mu)\vec{x}=\lambda(\mu\vec{x})
[/mm]
4. [mm] 1*\vec{x}=\vec{x}
[/mm]
So nun zur überprüfung:
1. [mm] (\lambda+\mu)f(x)=f(\lambda*x)+f(\mu*x)
[/mm]
2. [mm] \lambda(f(x)+f(y))= f(\lambda*x)+f(\lambda*y)
[/mm]
3. [mm] (\lambda*\mu)*f(x)=f(\lambda*\mu*x)=\lambda*(\mu*f(x))=\lambda*f(\mu*x)=f(\lambda*\mu*x)
[/mm]
4. 1*f(x)=f(1*x)=f(x)
Damit gelten alle Rechenregel der Multiplikation. Somit ist [mm] \IR[x] [/mm] auch weiterhin ein [mm] \IR-Vektorraum.
[/mm]
Reicht das als begründung?
Schönen Abend/Tag noch,
sup
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm] $\gdw [/mm] 0= [mm] (b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c) [/mm] $
Das muß *für alle x* gelten, d.h. alle 3 Koeffizienten müssen 0 sein. Das kann man als LGS schreiben,
[mm] $b-c=0,\quad c-1=0,\quad a+2c=0\quad \Longleftrightarrow$
[/mm]
[mm] $\left(\begin{array}{rrr|r}
0&1&-1&0\\
0&0&1&1\\
1&0&2&0
\end{array}\right)$
[/mm]
aber wie Ihr bei Euch auf die Einheitsvektoren kommt, ist mir ein Rätsel.
> So nun zur überprüfung:
> 1. [mm] (\lambda+\mu)f(x)=f(\lambda*x)+f(\mu*x) [/mm]
Wo überprüfst Du hier was?
Zu zeigen ist
[mm] $(\lambda +\mu)*f(x)=\lambda*f(x)+\mu*f(x)$
[/mm]
und zwar unter Verwendung der neuen Skalarmultiplikation. Die hast Du auf der einen Seite angewandt, aber warum Gleichheit gelten soll, zeigst Du nicht. =)
Setz mal die 3 Einheitsvektoren [mm] $f_i(x)$ [/mm] für f(x) ein.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:52 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Hi,
>
> > [mm]\gdw 0= (b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)[/mm]
>
> Das muß *für alle x* gelten, d.h. alle 3 Koeffizienten
> müssen 0 sein. Das kann man als LGS schreiben,
>
> [mm]b-c=0,\quad c-1=0,\quad a+2c=0\quad \Longleftrightarrow[/mm]
>
> [mm]$\left(\begin{array}{rrr|r}
0&1&-1&0\\
0&0&1&1\\
1&0&2&0
\end{array}\right)$[/mm]
>
>
> aber wie Ihr bei Euch auf die Einheitsvektoren kommt, ist
> mir ein Rätsel.
Aber warum müssen dann für alle x, die Koeffizienten Null sein. Das erschließt sich mir noch nicht ganz
Wenn ich nun das LGS auflöse komm ich auf x1=-2, x2=x3=1.
Also hat das LGS eine Lösung und es gibt ein a, b, c das die Gleichung für alle x erfüllt?
Mir ehrlich gesagt auch. Mehr als das was bei mir im 1. Beitrag steht weiß ich nicht. Ich werd es dann mit der Matrix begründen.
> > So nun zur überprüfung:
> > 1. [mm](\lambda+\mu)f(x)=f(\lambda*x)+f(\mu*x)[/mm]
>
> Wo überprüfst Du hier was?
>
> Zu zeigen ist
>
> [mm](\lambda +\mu)*f(x)=\lambda*f(x)+\mu*f(x)[/mm]
>
> und zwar unter Verwendung der neuen Skalarmultiplikation.
> Die hast Du auf der einen Seite angewandt, aber warum
> Gleichheit gelten soll, zeigst Du nicht. =)
> Setz mal die 3 Einheitsvektoren [mm]f_i(x)[/mm] für f(x) ein.
Welche drei Einheitsvektoren meinst du genau?
Wie soll ich denn den Term links anders hinschreiben, damit er zum rechten führt.
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> Im Raum [mm](\IR[x],[/mm] +, *) seien die Elemente [mm]f_{i}[/mm] definiert
> durch [mm]f_{i}=x^i[/mm] , i=0.1.2
>
> a) Weiter sei g definiert durch g(x)=(2-x)(1+x). Prüfen
> sie, ob es a,b,c [mm]\in \IR[/mm] gibt, sodass gilt
> [mm]f_{1}=a*f_{0}+bf_{2}+cg[/mm]
>
> b) Wir definieren die Skalarmultiplikation auf [mm]\IR[x][/mm] um,
> so dass c*f(x):=f(cx) für f [mm]\in \IR[x][/mm] und c [mm]\in \IR.[/mm] Die
> Addition sei wie üblich. Ist [mm]\IR[x][/mm] jetzt noch ein
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm]
>
> Guten Abend,
> ich glaube ich habe die Aufgabe gelöst (bin mir
> allerdings nicht sicher) und hätte gerne eine
> "Bestätigung" bzw. Erklärung von euch, damit ich es auch
> kapiere.
>
> a) Setzt mal alles ein und löst auf kommt man auf:
> [mm]x=a+bx^2-cx^2+2c+cx[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0= [mm]bx^2-cx^2+cx-x+2x+a[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0= [mm](b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)[/mm]
Hallo,
an dieser Stelle gibt es mindestens drei Möglichkeiten, wie man weitermachen kann.
1.
Ich sage: wir haben hier rechts und links ein Polynom.
Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen.
Also ist
b-c=0
c-1=0
a+2c=0
Diese Gleichungssystem hast Du ja inzwischen gelöst, also a,b,c die tun, was sie tun sollen, ermittelt.
2.
Ich sage: in [mm] $f_{1}=a*f_{0}+bf_{2}+cg$ [/mm] haben wir rechts und links eine Funktion.
Funktionen sind gleich, wenn sie in allen Funktionswerten übereinstimmen.
Also gilt [mm] $f_{1}(x)=(a*f_{0}+bf_{2}+cg$)(x) [/mm] für alle x,
was äquivalent ist zu
0= [mm] $(b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)$ [/mm] für alle x.
Wenn das für alle x gelten soll, gilt es auch für x=0, x=1 und x=-1.
Es folgt:
0=(a+2c)
0=(b-c)+(c-1)+(a+2c)
0=(b-c)-(c-1)x+(a+2c).
Die Lösung sollte dieselbe sein wie zuvor.
3.
Erkenntnis: [mm] (x^2,x,1) [/mm] ist linear unabhängig.
Also folgt aus [mm] (b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)=0,
[/mm]
daß
b-c=0
c-1=0
a+2c=0.
4.
[mm] f_i [/mm] und g sind Elemente eines Unterraumes von [mm] \IR[x], [/mm] nämlich des Raumes der Polynome vom Höchstgrad 2.
Eine Basis dieses Raumes ist [mm] B=(x^2, [/mm] x,1).
Bzgl. dieser Basis können wir die Gleichung 0= $ [mm] (b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c) [/mm] $ schreiben als
[mm] \vekto{0\\0\\0}=\vektor{b-c\\c-1\\a+2c},
[/mm]
woraus sich wieder das bereits bekante LGS ergibt.
>
> b)Bin mir nicht sicher, aber denke ich muss nun
> überprüfen ob die Rechenregel für die Multiplikation mit
> Skalaren weiterhin gelten.
Ja.
> Die Gesetze wären:
> 1. [mm](\lambda+\mu)*\vec{x}=\lambda\vec{x}+\mu\vec{x}[/mm]
>[...]
>
> So nun zur überprüfung:
> 1. [mm](\lambda+\mu)f(x)=f(\lambda*x)+f(\mu*x)[/mm]
Kannst Du mal die einzelnen Schritte mit jeweiliger Begründung angeben, die von der linken zur rechten Seite führen? Das mußt Du tun, sonst glaubt Dir keiner.
Oder noch besser: nimm mal das Polynom f=2x+x+1 , [mm] \lambda [/mm] =0 und [mm] \mu=1 [/mm] und schau nach, ob mit der def. c*f(x):=f(cx) wirklich gilt, daß
[mm] (\lambda+\mu)*f(x)=\lambda*f(x)+\mu*f(x) [/mm] richtig ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Sup |
>
> > Im Raum [mm](\IR[x],[/mm] +, *) seien die Elemente [mm]f_{i}[/mm] definiert
> > durch [mm]f_{i}=x^i[/mm] , i=0.1.2
> >
> > a) Weiter sei g definiert durch g(x)=(2-x)(1+x). Prüfen
> > sie, ob es a,b,c [mm]\in \IR[/mm] gibt, sodass gilt
> > [mm]f_{1}=a*f_{0}+bf_{2}+cg[/mm]
> >
> > b) Wir definieren die Skalarmultiplikation auf [mm]\IR[x][/mm] um,
> > so dass c*f(x):=f(cx) für f [mm]\in \IR[x][/mm] und c [mm]\in \IR.[/mm] Die
> > Addition sei wie üblich. Ist [mm]\IR[x][/mm] jetzt noch ein
> > [mm]\IR-Vektorraum[/mm]
> >
> > Guten Abend,
> > ich glaube ich habe die Aufgabe gelöst (bin mir
> > allerdings nicht sicher) und hätte gerne eine
> > "Bestätigung" bzw. Erklärung von euch, damit ich es auch
> > kapiere.
> >
> > a) Setzt mal alles ein und löst auf kommt man auf:
> > [mm]x=a+bx^2-cx^2+2c+cx[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] 0= [mm]bx^2-cx^2+cx-x+2x+a[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] 0= [mm](b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)[/mm]
>
> Hallo,
>
> an dieser Stelle gibt es mindestens drei Möglichkeiten,
> wie man weitermachen kann.
>
> 1.
> Ich sage: wir haben hier rechts und links ein Polynom.
> Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten
> übereinstimmen.
>
> Also ist
>
> b-c=0
> c-1=0
> a+2c=0
>
> Diese Gleichungssystem hast Du ja inzwischen gelöst, also
> a,b,c die tun, was sie tun sollen, ermittelt.
>
> 2.
> Ich sage: in [mm]f_{1}=a*f_{0}+bf_{2}+cg[/mm] haben wir rechts und
> links eine Funktion.
>
> Funktionen sind gleich, wenn sie in allen Funktionswerten
> übereinstimmen.
>
> Also gilt [mm]f_{1}(x)=(a*f_{0}+bf_{2}+cg[/mm])(x) für alle x,
>
> was äquivalent ist zu
>
> 0= [mm](b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)[/mm] für alle x.
>
> Wenn das für alle x gelten soll, gilt es auch für x=0,
> x=1 und x=-1.
>
> Es folgt:
> 0=(a+2c)
> 0=(b-c)+(c-1)+(a+2c)
> 0=(b-c)-(c-1)x+(a+2c).
>
> Die Lösung sollte dieselbe sein wie zuvor.
>
> 3.
> Erkenntnis: [mm](x^2,x,1)[/mm] ist linear unabhängig.
>
> Also folgt aus [mm](b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)=0,[/mm]
>
> daß
>
> b-c=0
> c-1=0
> a+2c=0.
>
> 4.
> [mm]f_i[/mm] und g sind Elemente eines Unterraumes von [mm]\IR[x],[/mm]
> nämlich des Raumes der Polynome vom Höchstgrad 2.
> Eine Basis dieses Raumes ist [mm]B=(x^2,[/mm] x,1).
>
> Bzgl. dieser Basis können wir die Gleichung 0=
> [mm](b-c)x^2+(c-1)x+(a+2c)[/mm] schreiben als
>
> [mm]\vekto{0\\0\\0}=\vektor{b-c\\c-1\\a+2c},[/mm]
>
> woraus sich wieder das bereits bekante LGS ergibt.
>
Danke für die ausführliche Erklärung. Und die Lösung wäre dann:
Da das LGS eine eindeutige Lösung hat, existieren a,b,c [mm] \in [/mm] V, sodass [mm] f_{1}(x)=(a*f_{0}+bf_{2}+cg [/mm] gilt.
> >
> > b)Bin mir nicht sicher, aber denke ich muss nun
> > überprüfen ob die Rechenregel für die Multiplikation mit
> > Skalaren weiterhin gelten.
>
> Ja.
>
> > Die Gesetze wären:
> > 1. [mm](\lambda+\mu)*\vec{x}=\lambda\vec{x}+\mu\vec{x}[/mm]
> >[...]
> >
> > So nun zur überprüfung:
> > 1. [mm](\lambda+\mu)f(x)=f(\lambda*x)+f(\mu*x)[/mm]
>
> Kannst Du mal die einzelnen Schritte mit jeweiliger
> Begründung angeben, die von der linken zur rechten Seite
> führen? Das mußt Du tun, sonst glaubt Dir keiner.
Nein kann ich nicht, daran hackt's, wie ihr ja schon festgestellt habt :)
> Oder noch besser: nimm mal das Polynom f=2x+x+1 , [mm]\lambda[/mm]
> =0 und [mm]\mu=1[/mm] und schau nach, ob mit der def. c*f(x):=f(cx)
> wirklich gilt, daß
>
> [mm](\lambda+\mu)*f(x)=\lambda*f(x)+\mu*f(x)[/mm] richtig ist.
Mit deinem konkreten Bsp. kriegt man:
[mm] (\lambda+\mu)*f(x)=(0+1)*f(x)=*f(1*x)=2x+x+1
[/mm]
[mm] \lambda*f(x)+\mu*f(x)=0*f(x)+1*f(x)f(0*x)+f(1)=1+2x+x+1=2x+x+2
[/mm]
Ok also gilt Gesetz 1 nicht und damit ist [mm] \IR[x] [/mm] kein Vektorraum mehr. (dann bräuchte ich ja die anderen Gesetzte nicht mehr überprüfen)
Nur wie kann ich das Allgemein begründen.
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> Danke für die ausführliche Erklärung. Und die Lösung
> wäre dann:
> Da das LGS eine eindeutige Lösung hat, existieren a,b,c
> [mm]\in[/mm] V, sodass [mm]f_{1}(x)=(a*f_{0}+bf_{2}+cg[/mm] gilt.
Hallo,
Du solltest am Ende die a,b,c ganz konkret ang[mm](\lambda+\mu)*f(x)=(0+1)*f(x)=*f(1*x)=2x+x+1[/mm]eben, und Dich zumindest selbst davon überzeugen, daß mit diesen alles ganz herrlich klappt.
Es ist aber auch kein Fehler, dies am Ende der Aufgabe nochmal vorzumachen.
(Im Grunde würde das sogar reichen. Aber Du brauchst ja eine Strategie, mit welchen Du die Koeffizienten in weniger übersichtlichen Fällen ausrechnen kannst.)
>
> > >
> > > b)Bin mir nicht sicher, aber denke ich muss nun
> > > überprüfen ob die Rechenregel für die Multiplikation mit
> > > Skalaren weiterhin gelten.
> >
> > Ja.
> >
> > > Die Gesetze wären:
> > > 1. [mm](\lambda+\mu)*\vec{x}=\lambda\vec{x}+\mu\vec{x}[/mm]
> > >[...]
> > >
> > > So nun zur überprüfung:
> > > 1. [mm](\lambda+\mu)f(x)=f(\lambda*x)+f(\mu*x)[/mm]
> >
> > Kannst Du mal die einzelnen Schritte mit jeweiliger
> > Begründung angeben, die von der linken zur rechten Seite
> > führen? Das mußt Du tun, sonst glaubt Dir keiner.
>
> Nein kann ich nicht, daran hackt's, wie ihr ja schon
> festgestellt habt :)
Mal ein Rat für Deine mathematische Zukunft: jede Umformung, für welche Du keine Begründung angeben kannst, kannst Du gleich mal bleiben lassen.
Wenn Du vor Dich hinrechnest, mußt Du Dich immer fragen: "Warum eigentlich?". Und Du mußt die Antwort suchen. Oder das beabsichtigte Manöver nicht ausführen. Dabei lernst Du viel, und Du schützt Dich selbst vor einer Vielzahl von Fehlern. (Keine Angst: es werden noch genügend Fehler übrigbleiben...)
>
> > Oder noch besser: nimm mal das Polynom [mm] f=2x^2+x+1 [/mm] , [mm]\lambda[/mm]
> > =0 und [mm]\mu=1[/mm] und schau nach, ob mit der def. c*f(x):=f(cx)
> > wirklich gilt, daß
> >
> > [mm](\lambda+\mu)*f(x)=\lambda*f(x)+\mu*f(x)[/mm] richtig ist.
>
> Mit deinem konkreten Bsp. kriegt man:
> [mm](\lambda+\mu)*f(x)=(0+1)*f(x)=*f(1*x)=2x^2+x+1[/mm]
>
> [mm]\lambda*f(x)+\mu*f(x)=0*f(x)+1*f(x)f(0*x)+f(1)=1+2x^2+x+1=2x^2+x+2[/mm]
> Ok also gilt Gesetz 1 nicht und damit ist [mm]\IR[x][/mm] kein
> Vektorraum mehr.
Genau.
> (dann bräuchte ich ja die anderen
> Gesetzte nicht mehr überprüfen)
Genau.
Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt eine Behauptung - selbst, wenn sie in allen anderen Fällen gilt.
Du brauchst nichts weiter zu tun hier.
> Nur wie kann ich das Allgemein begründen.
Was meinst Du damit?
Was Du bei dieser Aufgabe schreiben sollst?
Du schreibst:
Mit f:=..., [mm] \lambda:=... \nu:=.... [/mm] erhält man
[mm] (\lambda+\nu)*f(x):=...,
[/mm]
[mm] \lambda*f(x) [/mm] + [mm] \nu*f(x)=... [/mm] .
Es ist also [mm] (\lambda+\nu)*f(x)\not=\lambda*f(x) [/mm] + [mm] \nu*f(x),
[/mm]
und damit gilt das Axiom ... nicht.
Gruß v. Angela
>
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