Näherung durch eine Parabel < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 03.06.2007 | | Autor: | Noob12 |
| Aufgabe | K: f(x)= (tx²-4) : x²
Für welches t berührt eine zur y-Achse symmetrische Parabel 2. Ordnung mit Scheitel S(0/-1) die Kurve K in deren Schnittpunkten mit der x-Achse?
Bestimme die Gleichung der Parabel.
Schnittstellen liegen bei
2: [mm] \wurzel{t} [/mm]
und
2: - [mm] \wurzel{t} [/mm] |
Auf Symmetrie, Extrema etc habe ich die Funktion bereits untersucht, aber an dieser Teilaufgabe komme ich nicht weiter. Wie kann ich die Gleichung für die Parabel finden? Wenn ich einfach aus den 3 Punkten (S und die beiden Schnittpunkte) ein LGS bastele, verläuft die Parabel zwar durch alle 3 Punkte aber sie schneidet K anstatt sie zu berühren!!!
Ein kleiner Tipp wie ich anfangen muss würde mir fürs erste schon reichen... VIelen Dank!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 So 03.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Noob,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Allgemein lautet Deine Parabel mit den genannten Eigenschaften "parallel zur y-Achse" bzw. "Scheitelpunkt in $S \ (0;-1)$" :
[mm] $p_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*x^2-1$
[/mm]
Durch Einsetzen der ermittelten Nullstellen erhältst Du: $a \ = \ [mm] \bruch{t}{4}$ [/mm] .
Die Parabel lautet also: [mm] $p_t(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t}{4}*x^2-1$
[/mm]
Für welches $t_$ gilt nun also auch [mm] $f_t'(x_N) [/mm] \ = \ [mm] p_t'(x_N)$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 So 03.06.2007 | | Autor: | Noob12 |
Dankeschön Loddar!
:)
Aber ich fürchte ich habe es immernoch nicht richtig verstanden... :(
Kannst du mir noch einmal detailliert aufschreiben wie du das a errechnet hast?
Und zu den Ableitungen:
Ich habe ermittelt dass bei
K: f'(x)= - (8x : [mm] x^{4} [/mm] )
und bei der Parabel:
p'(x) = (t : 2) * x
ist... Wie genau kann ich nun mein t errechnen?
Vielen Dank nochmal!
lG Noob12
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 03.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Noob.
Den ansatz der Parabel hast du verstanden?
Damit sie durch den Punkt [mm] (2/\wurzel{t},0) [/mm] geht muss dieser Punkt die Parabelgl. erfüllen. also den Punkt einsetzen und a bestimmen. (damit etwas berühren kann, muss es erstmal schon durch den Punkt gehen.
jetzt sollen sich f und p nicht nur schneiden, sonder an der Stelle [mm] (2/\wurzel{t},0) [/mm] auch dieselbe Ableitung haben.
also musst du die Stelle in beide Ableitungen einsetzen und diese dann gleichsetzen.
bei f' hast du nen Vorzeichen Fehler es ist [mm] f'=8/x^3
[/mm]
(die zweite Nst. musst du nicht untersuchen, weil ja beide fkt. sym. zur y-Achse sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 03.06.2007 | | Autor: | Noob12 |
Vielen Dank erstmal für die Hilfe, habe die Aufgabe jetzt gelöst!
t= 1
also hat die Parabel die Gleichung
f(x)= 1/4 x² - 1
:)
War ja gar nicht so schwer....
Allerdings geht die Aufgabe noch weiter und da hänge ich schon wieder:
Die Tangenten an [mm] K_{1} [/mm] in den Kurvenpunkten P(u,v) und Q (-u,v) bilden mit der Geraden y=1 ein Dreieck mit dem Inhalt A(u). Bestimme A(u)!
Begründe, dass A(u) keinen Extremwert annimmt!
Tja, ich habe mir jetzt bereits eine Zeichnung gemacht von
K: f(x)= (x²-4) : x²
und y= 1
und dann die Tangenten irgendwie eingezeichnet...
Meine Frage: Mit welcher Methode komme ich jetzt an den Flächeninhalt? Über die Dreiecksformel
1/2 * g * h ???
Und wenn ja, wie bekomme ich die Gleichungen der Tangenten in Abhängigkeit von u und v heraus?
Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke!
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 03.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tangentengl in (u,v kannst du.
die schneidet die y-Achse in [mm] y_s [/mm] (negativ) [mm] 1-y_s [/mm] ist die Höhe des Dreiecks, die halbe Grundsite ist der x Wert der Tangente bei y=1, sieh das auf deine Skizze nach. Wieder aus Symmetrie brauchst du Q und die Tang in Q gar nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Noob12 |
Ist dann die Gleichung für die Tangente
f(x)= [mm] \bruch{v-s}{u} [/mm] x - s
Wobei s der Schnittpunkt der Tangenten auf der y Achse ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 04.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ist dann die Gleichung für die Tangente
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> f(x)= [mm]\bruch{v-s}{u}[/mm] x - s
Da jede Gerade durch u,v so aussieht ist es nicht falsch, aber auch nicht nützlich
>
>Die Tangente hat doch die Steigung f'(u), und geht durch den Pkt (u,v). entweder du kennst die sog. "Punktsteigungsform der Geraden, oder allgemein y=mx+s hier y=f'(u)+s
und (u,v)muss draufliegen, daraus s.
Dann heb dir die Formel gut auf, denn sie gilt für alle Tangenten, wenn du erstmal f allgemein lässt!
Wenn dus nur für dieses mal willst setz f und f' ein.
Gruss leduart.
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