Näherungsbruch an Wurzel 2 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \bruch{p}{q} [/mm] (p,q [mm] \in \IN) [/mm] ein Näherungsbruch von [mm] \wurzel{2}. [/mm] Man zeige
1. [mm] \bruch{p+2q}{p+q} [/mm] ist eine bessere Näherung an [mm] \wurzel{2} [/mm] als [mm] \bruch{p}{q}.
[/mm]
Hinweis: Begründen Sie, dass [mm] \left|\bruch{p+2q}{p+q}-\wurzel{2}\right|<\left|\bruch{p}{q}-\wurzel{2}\right| [/mm] gilt, indem Sie zeigen, dass der Quotient dieser beiden Größen <1 ist.
2. [mm] \wurzel{2} [/mm] liegt zwischen [mm] \bruch{p}{q} [/mm] und [mm] \bruch{p+2q}{p+q} [/mm] |
Es ist ziemlich klar, dass der Quotient sich von [mm] \bruch{\left|\bruch{p+2q}{p+q}-\wurzel{2}\right|}{\left|\bruch{p}{q}-\wurzel{2}\right|}<1 [/mm] zu [mm] \left|\bruch{\bruch{p+2q}{p+q}-\wurzel{2}}{\bruch{p}{q}-\wurzel{2}}\right|<1 [/mm] vereinfachen lässt. Aber wie geht es von dort aus weiter?
Vielen Dank für die Hilfe.
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Nicht, dass es falsch wäre... - aber wo ist die versprochene Vereinfachung bzw. Dein eigener Beitrag? Wahrscheinlich hast Du Quelltext kopiert und entweder falsch oder versehentlich nicht bearbeitet, aber ohne eigenen Vorschlag ist Hilfestellung schwierig.
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hey,
den ersten Schritt, das Zusammenfassen der Beträge, habe ich hingeschrieben. Jetzt hab ich hier verschiedene Möglichkeiten ausprobiert, die aber nicht einfacher zu werden scheinen (Brüche aufteilen, Gleichung quadireren). Aufgrund des Hinweises wird man aber direkt aus dem Bruch etwas rausholen können (müssen), im Sinne einer Vereinfachung. Dazu hätte ich gerne eine Hilfestellung.
Gruß Mr._calculus
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kann geschlossen werden.
Ist es eigentlich nicht möglich seine eigene Frage selbst zu schließen oder hab ich diese Option übersehen?
Gruß Mr._Calculus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Du wolltest den Beitrag ja geschlossen haben. Das geschieht mit meiner Antwort. Eine Moderator/Koordinator wird das ganze sicher noch in eine Mitteilung umwandeln und die Frage ist damit dann endgültig abgeschlossen 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mo 03.11.2008 | | Autor: | nimet |
erweitere und wende doppelbruch an. versuche deinen ausdruck zu vereinfachen mit methoden die du eigentlich aus der schule kennst
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Naja, machen wir erst mal einen normalen Doppelbruch aus dem Ausdruck zwischen den Betragszeichen:
[mm] \bruch{\bruch{p+2q}{p+q}-\wurzel{2}}{\bruch{p}{q}-\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{(p+2q)-\wurzel{2}(p+q)}{p+q}}{\bruch{p-q\wurzel{2}}{q}}
[/mm]
Das wäre dann (nach den Regeln der gewöhnlichen Bruchrechnung)
[mm] =\bruch{(p+2q)-\wurzel{2}(p+q)}{p-q\wurzel{2}}*\bruch{q}{p+q}
[/mm]
oder, umgeformt:
[mm] =\bruch{(p-q\wurzel{2})-\wurzel{2}(p-q\wurzel{2})}{p-q\wurzel{2}}*\bruch{q}{p+q}
[/mm]
mithin
[mm] (1-\wurzel{2})*\bruch{q}{p+q}
[/mm]
Hilft Dir das? Ist der Betrag dieses Terms zwingend <1?
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Danke für die Hilfe. Hab einiges ausprobiert, aber immer ungünstig umgeformt, so ist dann auch der Rest, inkl Aufg. 2, völlig klar.
Jetzt kann ich ja ruhig schlafen.
Gruß Mr._Calculus
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