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Näherungsformel: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mi 15.06.2005
Autor: simone1000

Hallo,
ich habe schon hin und hergerechnet komme aber auf keine Lösung.
Kann mir jemand helfen?

Für die Geschw. v eines frei fallenden Körpers gilt beim geschwindigkeitsproportionalen Luftwiderstand:
v=(v0-mg/k)*e hoch -kt/m+ m*g/k
Ermitteln sie eine für kt/m<<1 gültige Näherungsformel für v, indem sie die Funktion f(t)= e hoch -kt/m in einem Näherungspolynom 1. ordnung entwickeln.
k=Luftwiderstandszahl
Gruß Simone

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Näherungsformel: Exponentialreihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Mi 15.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Simone,

[willkommenmr] !!


> Für die Geschw. v eines frei fallenden Körpers gilt beim
> geschwindigkeitsproportionalen Luftwiderstand:
> v=(v0-mg/k)*e hoch -kt/m+ m*g/k

Bitte benutze doch auch unseren Formeleditor. Damit sieht das schon viel schöner und übersichtlicher aus:

[mm] $v(t)=\left(v_0-\bruch{m*g}{k}\right)*e^{-\bruch{k*t}{m}}+ \bruch{m*g}{k}$ [/mm]

Wenn Du meine Formel mal anklickst, kannst Du die Schreibweise sehen!


> Ermitteln sie eine für kt/m<<1 gültige Näherungsformel für
> v, indem sie die Funktion f(t)= e hoch -kt/m in einem
> Näherungspolynom 1. ordnung entwickeln.
> k=Luftwiderstandszahl

Soll das wirklich bei einem Näherungspolynom 1. Ordnung verbleiben? [kopfkratz3]


Für die Exponentialfunktion [mm] $e^x$ [/mm] gilt folgende Exponentialreihe
(Herleitung über MacLaurin'sche Reihenentwicklung):

[mm] $e^x [/mm] \ = \ 1 + [mm] \bruch{x}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] + ...$


Für ein Näherungspolynom 1. Ordnung verbleibt also:

[mm] $e^x [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ \ 1 + [mm] \bruch{x}{1!} [/mm] \ = \ 1+x$
(Diese Näherung gilt aber nur für Werte sehr nahe bei $x \ [mm] \approx [/mm] \ 0$ !!)


Wenn Du nun für x einsetzt: $x \ = \ [mm] -\bruch{k*t}{m}$, [/mm] hast Du Deine Näherung für $f(t)$ .

Diesen Term dann wiederum einsetzen in Deine Ausgangsfunktion für die Geschwindigkeit $v(t)$.


Was erhältst Du?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Näherungsformel: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 Mi 15.06.2005
Autor: simone1000

Ich mach das jetzt mal so.Hoffe ich hab das gerafft und bekomme das hin.
Danke.Gruß Simone
Bezug
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