Näherungsverfahren zur Nullste < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 15.02.2005 | | Autor: | Toaster |
Guten Tach,
also ich muss eine Facharbeit über das Thema <<Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung>> schreiben, was ja eigentlich an sich ganz einfach ist, wurde mir jedenfalls schon öfter gesagt. Ich soll zunächst die Schar
[mm] x^4+a*x³+1
[/mm]
mit herkömmlichen Verfahren untersuchen auf Berechenbarkeit und Existenz von Nullstellen für ggeignete Werte von a und anschließend 2 Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der Nullstellen aufzeigen und vorstellen, die auch im Unterricht praktikabel sind
.
Meine Frage ist nun nur die, wo oder ob es da jetzt wirklich Schwierigkeiten gibt? Ich muss meinen Lehrer noch Fragen, ob ich die Verfahren (NEWTON, regula falsi) noch beweisen soll, oder nur anwenden, aber was ich bis jetzt so sehe, wo liegt da das Problem? Kanns vielleicht sein, dass diese Verfahren nicht immer funktionieren? Denn so komisch sind auch die Graphen der Funktion nicht, sind sogar recht ansehnlich
Deswegen weiß ich eben nicht, ob ich mir da jetzt selbst probleme mit machen muss oder so was
Vielleicht versteht mich hier ja jemand und könnte mich mal aufklären
keine lösung oder so was, nur so ne einschätzung oder beurteilung
wenn ihr versteht
^^
mfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Di 15.02.2005 | | Autor: | CPH |
Hallo Toaster
Ich kenne nur das Newtonverfahren, jedoch bestand in diesem verfahren das Problem, dass man maximal eine Nullstelle pro "Durchgang" also pro "Durchlauf des kompletten Verfahrens" herausbekommt, und wenn man den Startpunkt unglücklich setzt, zum Bei bei einer Funktion welche sich für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] der X-Achse nur annähert zwar beliebig weit ins Unendliche gelangt, aber nie eine Nullstelle findet,
Des weiteren kann man beim Newtonverfahren auch wenn die Funktion mehrere Nullstellen besitzt duch unglückliches setzen des Startwertes immer wieder die gleiche Nullstelle finden.
Dafür hat das Newtonverfahren den Vorteil, dass es Fehler "verzeiht", denn selbst wenn man sich im ersten Durchlauf von der Nullstelle entfernt, kommt man falls man im zweiten Durchlauf richtig rechnet der Nullstelle wieder näher, es dauert dann eben etwas länger.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte
MFG
CPH
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Di 15.02.2005 | | Autor: | Max |
Eine lustige Sache ist es z.B. die Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x^2}-1$ [/mm] mit den Nullstellen [mm] $x_1=-1$ [/mm] und [mm] $x_2=1$ [/mm] zu untersuchen. Dabei treten drei verschiedene Fälle auf, jenachdem in welchem Intervall man den Startwert für das Newtonverfahren wählt.
Gruß Brackhaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 15.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
Da eben von Newton Verfahren gespriochen hat erinnert mich das an "regula falsi" im grunde der gleiche gedanke, jedoch auf andere weise.
Anstatt mit einer tangente sich von "außen" der nullstelle zu nähern geht man hier mit einer strecke von innen vor.
Hierzu muss jedoch die nullstelle zwischen den punkten liegen ( man brauch 2 ) und man kriegt auch nur einen raus.
ich finde eine kombination von dem Newton'schen Näherungsverfahren und "regula falsi" am besten, da letzteres sich meiner meinng nach besser eignet und ersteres die näherungswerte liefern kann, welche man braucht :)
jetzt haste immerhin schon mal 2 ;)
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Hallo Toaster,
nun hast du schon so einige Ideen genannt bekommen - und noch überhaupt nicht zu erkennen gegeben, dass du sie gelesen hast und 'was damit anfangen kannst.
Untersuche doch einmal die gegebene Funktion und stelle fest, dass du eine Nullstelle nur durch Näherung bestimmen kannst.
Wie merkst du denn das überhaupt?!?
Damit hast du den Einstieg in die Facharbeit.
Du kannst nicht erwarten, dass wir dir so allgemein noch mehr Tipps zu deiner Arbeit liefern.
Du sollst ja gerade selbst recherchieren und daraus die Arbeit zusammenstellen.
Wenn du konkrete Fragen hast, kannst du dich gerne wieder melden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Toaster |
Naja, ich denke, dass mich einige von euch nicht richtig verstanden haben. Die Verfahren, die ich zu nutzen habe, weiß ich bereits, da ich mich darüber schon informiert habe, mir ging es eigentlich nur darum, dass ich die Problematik in dieser Formel nicht erkannt habe. Ich denke, ich kann meine Frage jetzt besser formulieren, da mir erst jetzt aufgefallen ist, dass man mit den Verfahren, die ich vorstellen muss und zwei davon muss ich zur Untersuchung der Formel heranziehen, die Nullstellen näherungsweise bestimmt und immer nur EINE. Da ich aber eine Funktionenschar habe, brauche ich ja eigentlich für die Nullstellen einen Term, der von a abhängig ist, sodass man die Nullstellen auch für alle a berechnen kann. Leider bin ich noch (NOCH!) nicht so weit, ob ich anhand der Verfahren beurteilen kann, ob das bei Approximierungsverfahren überhaupt möglich ist, wenn mir das vielleicht jemand beantworten könnte???
Konkret: Kann man für eine funktionenschar die Nullstellen mit Hilfe von Approximationsverfahren (Newton, Regula Falsi, Pegasus, Satz von Cardano, Intervallschachtellung) in Form eines von a abhängigen Terms berechnen, oder muss ich die Nullstellen mit gewähltem a berechnen und die anderen Nullstellen so beurteilen, indem ich eine Klassifikation von der Schar vornehme, und so sehe, ob Regelmäßigkeiten etc. vorliegen?
Wäre dankbar für Hilfe und bitte denkt nicht, dass ich mir von euch die ganze Facharbeit machen lassen will. Ich denke nur, dass ihr meine erste Frage nicht ganz richtig verstanden habt, was wohl auch oder nur an mir lag. Also verzeiht mir! ;)
danke, Toaster
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