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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Ich sitze gerade an einer Aufgabe und steh aufm Schlauch. Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!} [/mm] konvergiert. Dies habe ich mit dem Majorantenkrit. abgeschätzt, da die exp(-1) konvergente Majorante ist. Nun soll ich einen Näherungswert [mm] \beta \in \IQ [/mm] für den Grenzwert a bestimmen, so dass [mm] |a-\beta| [/mm] < [mm] 10^{-3}
[/mm]
Ich habe dabei leider keine Ahnung, wie ich da am besten vorgehe, gibt es da jemanden, der mit evtl. helfen kann.
Vielen Dank schone einmal :) Liebe Grüße!
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Hallo janinaflo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So ganz richtig kann das noch nicht sein...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Ich sitze gerade an einer Aufgabe und steh aufm Schlauch.
> Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}[/mm] konvergiert.
> Dies habe ich mit dem Majorantenkrit. abgeschätzt, da die
> exp(-1) konvergente Majorante ist.
Deine Reihe ist zwar konvergent, aber [mm] e^{-1} [/mm] ist definitiv keine Majorante. Das müsstest Du mal vormachen.
> Nun soll ich einen
> Näherungswert [mm]\beta \in \IQ[/mm] für den Grenzwert a
> bestimmen, so dass [mm]|a-\beta|[/mm] < [mm]10^{-3}[/mm]
>
> Ich habe dabei leider keine Ahnung, wie ich da am besten
> vorgehe, gibt es da jemanden, der mir evtl. helfen kann.
Das geht hier doch ganz schnell, weil die Reihe sehr sehr schnell konvergiert. Für welche k ist denn [mm] \bruch{1}{(2k+1)!}<\bruch{1}{1000} [/mm] ?
Sehr einfach, weil 6!<1000<7!, wie man entweder schon weiß oder sonst schnell im Kopf überschlagen kann.
Es wird also genügen, die ersten drei Glieder (für k=0,1,2) zu berechnen.
Ansonsten erweist sich z.B. auch [mm] \bruch{16}{19} [/mm] als geeignet, oder noch besser [mm] \bruch{69}{82}, [/mm] nur ist es für diese beiden nur schwer nachzuweisen. Für [mm] \bruch{101}{120} [/mm] ist es dagegen sehr leicht, siehe oben.
Grüße
reverend
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Hallo reverend!
vielen Dank erstmal für deine schnelle Hilfe!
> So ganz richtig kann das noch nicht sein...
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> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Ich sitze gerade an einer Aufgabe und steh aufm Schlauch.
> > Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Reihe
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}[/mm] konvergiert.
> > Dies habe ich mit dem Majorantenkrit. abgeschätzt, da die
> > exp(-1) konvergente Majorante ist.
>
> Deine Reihe ist zwar konvergent, aber [mm]e^{-1}[/mm] ist definitiv
> keine Majorante. Das müsstest Du mal vormachen.
Ich bin wie folgt vorgegangen und habe [mm] \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!} [/mm] betrachtet.
[mm] \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^k}{2*(2k+1)*k!} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^k}{k!}*\bruch{1}{4k+2} [/mm] < [mm] \bruch{(-1)^k}{k!} [/mm] Und das ist doch dann exp(-1), oder nicht?
Viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend!
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> vielen Dank erstmal für deine schnelle Hilfe!
>
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> > So ganz richtig kann das noch nicht sein...
> >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Ich sitze gerade an einer Aufgabe und steh aufm Schlauch.
> > > Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Reihe
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}[/mm] konvergiert.
> > > Dies habe ich mit dem Majorantenkrit. abgeschätzt, da die
> > > exp(-1) konvergente Majorante ist.
> >
> > Deine Reihe ist zwar konvergent, aber [mm]e^{-1}[/mm] ist definitiv
> > keine Majorante. Das müsstest Du mal vormachen.
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen und habe
> [mm]\bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}[/mm] betrachtet.
> [mm]\bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^k}{2*(2k+1)*k!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^k}{k!}*\bruch{1}{4k+2}[/mm] < [mm]\bruch{(-1)^k}{k!}[/mm] Und
> das ist doch dann exp(-1), oder nicht?
Für jedes gerade k ist Deine obige Ungl. richtig. Für jedes ungerade k ist sie falsch !
Schau Dir noch mal das Majorantenkrit. an ! Da kommen Beträge vor, wie Du siehst, nicht umsonst.
Du kannst so vorgehen:
[mm]|\bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}| = \bruch{1}{(2k+1)!} \le \bruch{1}{k!}[/mm]
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(1}{k!}=e$ [/mm] ist also eine konvergente Majorante. Damit bekommst Du sogar die absolute Konvergenz Deiner Ausgangsreihe.
FRED
>
> Viele Grüße!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 01.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich muss auch einen Näherungswert bestimmen, habe das allerdings noch nicht so ganz verstanden.
[mm] \bruch{1}{(2k+1)!} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000} \gdw [/mm] 1 < [mm] \bruch{1}{1000}(2k+1)! \gdw [/mm] 1000 < (2k+1)!
Das sind ja im Grunde nur Umformungen und das
720 = 6! < 1000 < 7! = 5040 ist, ist offensichtlich.
Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass man [mm] \summe_{k=0}^{2} [/mm] bestimmt, weil gerade bei 2 im Nenner 5! steht und der Nenner für k=3 bereits größer als [mm] 10^{-3} [/mm] wäre.
Was mir jetzt allerdings nicht klar ist, ist was dieser Wert von [mm] \bruch{101}{120} [/mm] ist... Das ist doch dann im Grunde der Reihenwert, der < [mm] 10^{-3} [/mm] ist, oder? Aber was genau ist jetzt das [mm] \beta? [/mm] Eben dieser Wert?
LG
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Hallo Pia,
Du hast also gerade die gleiche Aufgabe?
[mm] \summe_{k=0}^{2}\bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}=\bruch{1}{1!}-\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{5!}=\bruch{120}{120}-\bruch{20}{120}+\bruch{1}{120}=\bruch{101}{120}=\beta
[/mm]
> Was mir jetzt allerdings nicht klar ist, ist was dieser
> Wert von [mm]\bruch{101}{120}[/mm] ist... Das ist doch dann im
> Grunde der Reihenwert, der < [mm]10^{-3}[/mm] ist, oder? Aber was
> genau ist jetzt das [mm]\beta?[/mm] Eben dieser Wert?
Ja, genau.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
Ja, ich muss mich gerade auch mit der Aufgabe herumschlagen (es ist tatsächlich die gleiche), habe sie nun aber soweit verstanden denke ich :)
Danke für eure Hilfe!
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