Näherungswert zu Wurzel 8 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen sie einen Näherungswert [mm] \zeta [/mm] für [mm] \wurzel{8} [/mm] mit [mm] |\zeta-\wurzel{8}| [/mm] < [mm] \frac{1}{100} [/mm] |
Hallo,
da das Aufgabenblatt noch andere Aufgaben zur Taylorreihe hat denke ich, dass diese Aufgabe auch mit der Taylorreihe gelöst werden soll.
Hierzu mein Lösung:
Sei f(x) = [mm] 3\wurzel{1-x}
[/mm]
f'(x) = [mm] -\frac{3}{2\wurzel{1-x}}
[/mm]
f''(x) = [mm] -\frac{3}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}
[/mm]
Für den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] gilt dann:
[mm] |R_{1}(\frac{1}{9})| [/mm] = | [mm] |\frac{-\frac{3}{4(1-\xi)^{\frac{3}{2}}}}{2!} (\frac{1}{9})^{2}| [/mm] = [mm] \frac{1}{81} |\frac{3}{8(1-\xi)^{\frac{3}{2}}}| \le \frac{1}{81} |\frac{3}{8(1-\frac{1}{9})^{\frac{3}{2}}}| [/mm] = [mm] \frac{1}{81} \frac{3}{8} \frac{1}{\frac{8\wurzel{8}}{27}} [/mm] < [mm] \frac{1}{81} \frac{3}{8} \frac{27}{8 \cdot 2} [/mm] = [mm] \frac{1}{128}
[/mm]
Somit wäre [mm] \zeta [/mm] = [mm] T_{1}(\frac{1}{9} [/mm] . Die ganze Abschätzung ist aber irgentwie recht lang und unschön, kann man das besser machen bzw. ist hier nach etwas anderem gefragt?
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> Bestimmen sie einen Näherungswert [mm]\zeta[/mm] für [mm]\wurzel{8}[/mm]
> mit [mm]|\zeta-\wurzel{8}|[/mm] < [mm]\frac{1}{100}[/mm]
> Hallo,
> da das Aufgabenblatt noch andere Aufgaben zur Taylorreihe
> hat denke ich, dass diese Aufgabe auch mit der Taylorreihe
> gelöst werden soll.
> Hierzu mein Lösung:
>
> Sei f(x) = [mm]3\wurzel{1-x}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich verstehe nicht, weshalb du diese Funktion betrachtest ...
> f'(x) = [mm]-\frac{3}{2\wurzel{1-x}}[/mm]
> f''(x) = [mm]-\frac{3}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}[/mm]
>
> Für den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] gilt dann:
>
> [mm]|R_{1}(\frac{1}{9})|[/mm] = |
> [mm]|\frac{-\frac{3}{4(1-\xi)^{\frac{3}{2}}}}{2!} (\frac{1}{9})^{2}|[/mm]
> = [mm]\frac{1}{81} |\frac{3}{8(1-\xi)^{\frac{3}{2}}}| \le \frac{1}{81} |\frac{3}{8(1-\frac{1}{9})^{\frac{3}{2}}}|[/mm]
> = [mm]\frac{1}{81} \frac{3}{8} \frac{1}{\frac{8\wurzel{8}}{27}}[/mm]
> < [mm]\frac{1}{81} \frac{3}{8} \frac{27}{8 \cdot 2}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{128}[/mm]
>
> Somit wäre [mm]\zeta[/mm] = [mm]T_{1}(\frac{1}{9}[/mm] . Die ganze
> Abschätzung ist aber irgentwie recht lang und unschön,
> kann man das besser machen bzw. ist hier nach etwas anderem
> gefragt?
Hallo Stephan,
man könnte sich hier natürlich recht elementare
Lösungswege vorstellen.
Wenn's denn aber schon Taylor-made sein soll,
dann ist es bestimmt ungeschickt, die Reihe an der
Stelle [mm] x_0=0 [/mm] zu entwickeln. Man liegt doch dann
von Anfang an viel besser, wenn man von [mm] x_0=9
[/mm]
ausgeht (denn 8 liegt nahe bei 9 = [mm] 3^2).
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo,
ich habe die Funktion f(x) = [mm] 3\sqrt{1-x} [/mm] genommen, da für x = [mm] \frac{1}{9} [/mm] die Funktion den Wert [mm] \sqrt{8} [/mm] annimmt und der Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0 nahe bei [mm] \frac{1}{9} [/mm] liegt. Somit hätte ich doch schon bei einem kleinem Taylorpolynom eine gute Annäherung an die Funktion f(x) = [mm] 3\sqrt{1-x} [/mm] im Bereich [mm] [-\frac{1}{9}, \frac{1}{9}] [/mm] oder?
Meinst du nun, dass ich die Funktion f(x) = [mm] \sqrt{x} [/mm] betrachten soll und dann um [mm] x_{0} [/mm] = 9 entwickeln soll? Da ist doch der Abstand von 8 zu 9 größer als von 0 zu [mm] \frac{1}{9}.
[/mm]
Wäre nett wenn du das nochmal erläutern könntest :) .
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> Hallo,
> ich habe die Funktion f(x) = [mm]3\sqrt{1-x}[/mm] genommen, da für
> x = [mm]\frac{1}{9}[/mm] die Funktion den Wert [mm]\sqrt{8}[/mm] annimmt und
> der Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] = 0 nahe bei [mm]\frac{1}{9}[/mm] liegt.
> Somit hätte ich doch schon bei einem kleinen Taylorpolynom
> eine gute Annäherung an die Funktion f(x) = [mm]3\sqrt{1-x}[/mm] im
> Bereich [mm][-\frac{1}{9}, \frac{1}{9}][/mm] oder?
Ja, ich habe jetzt gesehen, dass dies auch ein durchaus
gangbarer Weg ist. Ich habe mir mal die entstehende
Taylorreihe angeschaut. Die beginnt nun so:
$\ T(x)\ =\ [mm] 3\,-\,\frac{3}{2}\,x\,-\,\frac{3}{8}\,x^2\,-\,\frac{3}{16}\,x^3\ [/mm] .....$
Du möchtest den Wert $\ [mm] f\left(\frac{1}{9}\right)\ [/mm] =\ [mm] T\left(\frac{1}{9}\right)$
[/mm]
berechnen und dabei nur gerade so wenige Glieder
der Reihe benützen, dass der dadurch entstehende
Fehler unterhalb der gegebenen Fehlerschranke
liegt.
> Meinst du nun, dass ich die Funktion f(x) = [mm]\sqrt{x}[/mm]
> betrachten soll und dann um [mm]x_{0}[/mm] = 9 entwickeln soll? Da
> ist doch der Abstand von 8 zu 9 größer als von 0 zu
> [mm]\frac{1}{9}.[/mm]
> Wäre nett wenn du das nochmal erläutern könntest :) .
Meine Idee war, bei der einfachen gegebenen Funktion
zu bleiben. Dass der dabei auftretende Abstand zwischen
8 und 9 größer ist als "dein" Abstand, spielt im Endeffekt
keine Rolle. Es zeigt sich, dass die entsprechenden Faktoren
sich aus der Rechnung herauskürzen.
Am Ende ist es also gehupft wie gesprungen ...
Bleibt also die richtige Abschätzung des Restgliedes.
So wie ich jetzt sehe, scheint auch deine Rechnung dazu
im Wesentlichen richtig zu sein. Nur bei der Betrachtung
der Terme mit [mm] |(1-\xi)| [/mm] sollte man noch beachten,
welche Konsequenzen das Vorzeichen des jeweiligen
Wertes von [mm] \xi [/mm] hat ...
Natürlich wäre auch noch die Folgerung klar herauszu-
stellen, dass offenbar schon das Taylorpolynom
[mm] T_1 [/mm] einen genügend genauen Näherungswert liefert !
LG , Al-Chw.
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