Nährungswert über Tangente < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie eine Näherung für [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}}
[/mm]
Berechnen Sie zunächst einen Nährungswert für [mm] e^{\bruch{1}{8}} [/mm] über die Tangente an [mm] f(x)=e^{x} [/mm] in [mm] x_{0}=0. [/mm] Berechnen Sie des Weiteren einen Näherungswert für [mm] \wurzel[4]{17} [/mm] über eine geeignete Tangente an [mm] g(x)=\wurzel[4]{x}. [/mm] Nutzen sie die beiden Werte, um den gesuchten Näherungswert für [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}} [/mm] anzugeben. |
Hi!
Den ersten Näherungswert für [mm] e^{\bruch{1}{8}} [/mm] konnnte ich lösen. Hierfür habe für den Y-achsenabschnitt der Tangente [mm] x_{0}=0 [/mm] in die [mm] f(x)=e^{x} [/mm] eingesetzt.
Für den Y-Achsenabschnitt hab ich somit 1 raus. Für die Steigung hab [mm] x_{0}=0 [/mm] in die Ableitung [mm] f'(x)=e^{x} [/mm] eingesetzt und ebenfalls den Wert 1 raus.
Die Tangte lautet bei mir somit y=x+1.
Um nun den Nährunswert zu erhalten habe ich [mm] \bruch{1}{8} [/mm] für x in meine formulierte Tangentengleichung eingesetzt.
[mm] y=\bruch{1}{8}+1=1,125
[/mm]
Somit ist der Nährungswert für [mm] e^{\bruch{1}{8}}=1,125
[/mm]
Hoffe das ist soweit richtig?
Wie ich den Nährungswert der [mm] \wurzel[4]{17} [/mm] ermittele, da weiß ich leider nicht weiter.
[mm] x_{0}=0 [/mm] Einzusetzen würde bei der Wurzel ja nicht viel Sinn machen? Welchen Wert müsste ich den dabei Benutzen?
Um dann die Näherung für [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}}
[/mm]
zu erhalten müsste ich doch einfach die beiden Nährungswerte teilen?
Wäre für Hilfe Dankbar
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Von welcher Zahl in der Nähe von 17 kannst Du die vierte Wurzel ohne Taschenrechner angeben?
Dann berechnest Du die Ableitung der vierten Wurzel an dieser Stelle und machst so weiter wie bei der e-Funktion.
> Um dann die Näherung für $ [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}} [/mm] $ zu erhalten müsste ich doch einfach die beiden Nährungswerte teilen?
Das würde ich so machen.
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Vielen Dank!
Ich habs für den zweiten Nährungswert nun folgendermaßen gemacht:
[mm] g(x)=\wurzel[4]{x}
[/mm]
Y-Achsenabschnitt der Tangente:
g(16)=2
Steigung der Tangente:
g'(x)= [mm] \bruch{1}{4}*x^{-\bruch{3}{4}}
[/mm]
g'(16)= [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{\wurzel[4]{16^{3}}}
[/mm]
[mm] g'(16)=\bruch{1}{4}*\bruch{1}{8}=\bruch{1}{32}
[/mm]
Die Tangentegleichung ist somit:
[mm] y=\bruch{1}{32}x+2
[/mm]
Ich hab nun für x = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] eingesetzt. Ist das richtig?
Der Nährungswert ist dann [mm] \wurzel[4]{17}=\approx2,0078
[/mm]
Die Nährung für [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}} [/mm] ergibt sich aus
[mm] \bruch{1,125}{\bruch{257}{128}}=\bruch{144}{257}\approx0.5603
[/mm]
Ist das so richtig?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Fr 20.01.2012 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank!
>
> Ich habs für den zweiten Nährungswert nun folgendermaßen
> gemacht:
>
> [mm]g(x)=\wurzel[4]{x}[/mm]
>
> Y-Achsenabschnitt der Tangente:
>
> g(16)=2
>
> Steigung der Tangente:
>
> g'(x)= [mm]\bruch{1}{4}*x^{-\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> g'(16)= [mm]\bruch{1}{4}*\bruch{1}{\wurzel[4]{16^{3}}}[/mm]
>
> [mm]g'(16)=\bruch{1}{4}*\bruch{1}{8}=\bruch{1}{32}[/mm]
>
> Die Tangentegleichung ist somit:
>
> [mm]y=\bruch{1}{32}x+2[/mm]
Hallo,
das ist falsch. Wenn die Gerade einen positiven Anstieg hat und an der Stelle 16 den Funktionswert 2, dann kann sie bei x=0 (also auf der y-Achse) nicht auch den Wert 2 haben.
Gruß Abakus
>
> Ich hab nun für x = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] eingesetzt. Ist das
> richtig?
>
> Der Nährungswert erhalt ich dann
> [mm]\wurzel[4]{17}=\approx2,0078[/mm]
>
> Die Nährung für [mm]\bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}}[/mm]
> ergibts aus
> [mm]\bruch{1,125}{\bruch{257}{128}}=\bruch{144}{257}\approx0.5603[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
> Gruß
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Danke!
Meine berechnete Steigung müsste aber richtig sein oder?
Dann würde ich wie folgt vorgehene:
Da ich ja die Steigung kenne und die Information g(16)=2 habe sieht meine Gleichung folgendermaßen aus.
y=mx+b
[mm] 2=\bruch{1}{32}*16+b
[/mm]
[mm] b=\bruch{3}{2}
[/mm]
Meine vollständige Tangentengleichung lautet nun:
[mm] y=\bruch{1}{32}*x+\bruch{3}{2}
[/mm]
Der Nährungswert für [mm] \wurzel[4]{17} [/mm] ergibt sich aus
[mm] \wurzel[4]{17}=\bruch{1}{32}*\bruch{1}{4}+\bruch{3}{2}=\bruch{193}{128}\approx1,5078
[/mm]
Die Nährung für [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}} [/mm] ergibt sich dann aus [mm] \bruch{1,125}{\bruch{193}{128}}=\bruch{144}{193}\approx0,7461
[/mm]
Ist dieser Lösungsweg richtig bzw auch richtig formuliert?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chrisno |
> Meine berechnete Steigung müsste aber richtig sein oder?
ja
>
> Dann würde ich wie folgt vorgehene:
>
> Da ich ja die Steigung kenne und die Information g(16)=2
> habe sieht meine Gleichung folgendermaßen aus.
>
> y=mx+b
>
> [mm]2=\bruch{1}{32}*16+b[/mm]
>
> [mm]b=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Meine vollständige Tangentengleichung lautet nun:
>
> [mm]y=\bruch{1}{32}*x+\bruch{3}{2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der Nährungswert für [mm]\wurzel[4]{17}[/mm] ergibt sich aus
>
> [mm]\wurzel[4]{17}=\bruch{1}{32}*\bruch{1}{4}+\bruch{3}{2}=\bruch{193}{128}\approx1,5078[/mm]
Nein, Du musst nun 17 für x einsetzen. Das sollte Dir auch auffallen, denn Dein Näherungswert ist kleiner als 2. Das muss falsch sein.
>
> Die Nährung für [mm]\bruch{e^{\bruch{1}{8}}}{\wurzel[4]{17}}[/mm]
> ergibt sich dann aus
> [mm]\bruch{1,125}{\bruch{193}{128}}=\bruch{144}{193}\approx0,7461[/mm]
Ich rate Dir, das zum Vergleich direkt mit dem Taschenrechner auszurechnen.
>
> Ist dieser Lösungsweg richtig bzw auch richtig
> formuliert?
Die Formulierungen finde ich in Ordnung
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