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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 So 29.04.2007 | | Autor: | Lealine |
| Aufgabe | | Es sind n [mm] \in \IN [/mm] und k [mm] \in \IR [/mm] mit k>0 gegeben. weiter is n+k [mm] \in\IN. [/mm] Zeigen sie dass dann gilt k [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo liebe Mathematiker,
ich weiß nicht wie ich dies machen soll. ich dachte immer beim stichwort "natürliche Zahlen", dass ich da am besten die vollständige induktion nehme, aber irgendwie bin ich mir nicht sicher, ob es mit indirektem beweis geht!
könnt ihr mir helfen, wie man das macht?
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Lea!
> Es sind n [mm]\in \IN[/mm] und k [mm]\in \IR[/mm] mit k>0 gegeben. weiter is
> n+k [mm]\in\IN.[/mm] Zeigen sie dass dann gilt k [mm]\in \IN.[/mm]
> Hallo
> liebe Mathematiker,
> ich weiß nicht wie ich dies machen soll. ich dachte immer
> beim stichwort "natürliche Zahlen", dass ich da am besten
> die vollständige induktion nehme, aber irgendwie bin ich
> mir nicht sicher, ob es mit indirektem beweis geht!
> könnt ihr mir helfen, wie man das macht?
> Danke schonmal!
Bei dieser Frage muss man mehr darueber wissen, was ihr schon ueber die natuerlichen Zahlen wisst und wie ihr sie definiert habt, um dir richtig helfen zu koennen.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 So 29.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier ist Induktion glaub ich nicht am Platz, weil das für n=1 ja so schwer ist wie für jedes n.
also nimm an k ist nicht aus N und führ das zum Widerspruch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 29.04.2007 | | Autor: | Lealine |
ich habe es mit der vollständigen induktion versucht zu zeigen.Der induktionsanfang ist für n=0 sehr leicht! jetzt komm ich aber nicht weiter...muss ich vielleicht aber die induktion über k machen?
noch mals vielen dank für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Lea!
> ich habe es mit der vollständigen induktion versucht zu
> zeigen.Der induktionsanfang ist für n=0 sehr leicht!
Das ist keine Ueberraschung :)
> jetzt komm ich aber nicht weiter...muss ich vielleicht aber die
> induktion über k machen?
Nein, Induktion nach $k$ kannst du nicht machen, da $k [mm] \in \IR$, [/mm] $k > 0$ ist. Induktion ueber $n$ ist schon besser (oder vielleicht, je nachdem was ihr so an Werkzeugen zur veruefung habt, ist gar keine Induktion noch besser).
Aber wie schon gesagt, um dir weiterhelfen zu koennen musst du uns mehr verraten.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 29.04.2007 | | Autor: | Lealine |
Danke, dass ihr so schnell antwortet!! ich weiß gar nicht, was für informationen ich dir geben kann!Also wir haben alle Körperaxiome und das archimedische Prinzip gehabt, das wohlordnungsprinzip auch.und natürlich die definition der induktiven menge, [mm] \IN [/mm] als kleinste Induktive Menge!
Diese Aufgabe ist wahrscheinlich eigentlich sehr einfach, aber ich komme einfach nicht weiter!ich habe es jetzt mit einem wiederspruchsbeweis versucht. und es in zwei fälle aufgeteilt, n=0 n [mm] \ge [/mm] 0.Stehe aber vor dem gleichen Problem, wie bei der vollständigen induktion.ich meine also für n=0 ist es wieder super einfach und den anderen Fall blick ich nicht :-( !
Danke noch mal für euer Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Lea!
> Danke, dass ihr so schnell antwortet!! ich weiß gar nicht,
> was für informationen ich dir geben kann!Also wir haben
> alle Körperaxiome und das archimedische Prinzip gehabt, das
> wohlordnungsprinzip auch.und natürlich die definition der
> induktiven menge, [mm]\IN[/mm] als kleinste Induktive Menge!
> Diese Aufgabe ist wahrscheinlich eigentlich sehr einfach,
> aber ich komme einfach nicht weiter!ich habe es jetzt mit
> einem wiederspruchsbeweis versucht. und es in zwei fälle
> aufgeteilt, n=0 n [mm]\ge[/mm] 0.Stehe aber vor dem gleichen
> Problem, wie bei der vollständigen induktion.ich meine also
> für n=0 ist es wieder super einfach und den anderen Fall
> blick ich nicht :-( !
Per Induktion kannst du das ziemlich schnell darauf zurueckfuehren, dass du es nur noch fuer den Fall $n = 1$ zeigen musst. (Wenn du das nicht schaffst, sag Bescheid.)
Sei also $n = 1$ und $k [mm] \in \IR$ [/mm] mit $k > 0$ so, dass $k + n [mm] \in \IN$ [/mm] sei. Nun hat jede natuerliche Zahl [mm] $\alpha$ [/mm] in [mm] $\IN \setminus \{ 0 \}$ [/mm] einen eindeutigen Vorgaenger, also es gibt ein [mm] $\beta \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\beta [/mm] + 1 = [mm] \alpha$. [/mm] Da $k + n > 0$ ist, ist also $k + n [mm] \in \IN \setminus \{ 0 \}$, [/mm] und du bist fertig.
Jetzt zur Aussage, das jede natuerliche Zahl [mm] $\neq [/mm] 0$ einen eindeutigen Vorgaenger hat: wenn dies fuer eine natuerliche Zahl $k [mm] \in \IN \setminus \{ 0 \}$ [/mm] nicht gelten wuerde, so waere [mm] $\IN \setminus \{ k \}$ [/mm] immer noch ein induktives System, welches die $0$ umfasst; dies waer aber ein Widerspruch dazu, dass [mm] $\IN$ [/mm] das minimale induktive System ist, welches die $0$ umfasst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 29.04.2007 | | Autor: | Lealine |
Vielen Dank, das ist echt nett!
ich weiß noch nicht wie ich diese vollst. induktion machen soll, über was denn? ich weiß die Induktionsannahme bzw vorraussetzung nicht, die du meinst!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Lea,
> ich weiß noch nicht wie ich diese vollst. induktion machen
> soll, über was denn? ich weiß die Induktionsannahme bzw
> vorraussetzung nicht, die du meinst!
du musst Induktion nach $n$ machen (nach $k$ geht ja nicht und sonst bleibt nichts uebrig). Der Fall $n = 0$ ist einfach, wie du schon bemerkt hast.
Wenn die Behauptung fuer ein $n$ und alle $k$ gilt, und du ein $k > 0$ hast mit $(n + 1) + k [mm] \in \IN$, [/mm] dann ist ja $n + (k + 1) [mm] \in \IN$. [/mm] Also kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhaelst $k + 1 [mm] \in \IN$. [/mm] Du hast also praktisch auf den Fall $n = 1$ reduziert.
LG Felix
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