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Forum "Zahlentheorie" - Natürliche Zahlen
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Natürliche Zahlen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Mo 25.06.2007
Autor: hmm

Aufgabe
Für welche natürlichen Zahlen gilt a  [mm] \ge [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] a – c [mm] \ge [/mm] b – c ?
(Multiplikation, Distributivgesetz, Monotonie- und Kürzungsregeln in (N, + ,  , ) seien als bekannt vorausgesetzt. Begründen Sie bitte jeweils Ihre Teilschritte!)

Hallo ihr lieben,
bis jetzt habe ich mir überlegt, dass es eigentlich für alle a [mm] \ge [/mm] b > c der Fall sein muss. Die Frage ist nur, wie kann ich das Begründen? Muss ich da noch ne Fallunterscheidung machen ob es nun > oder = ist?
Es wäre echt schön, wenn ihr mir hefen könntet...
Vielen Dank schonmal.
Hmm

        
Bezug
Natürliche Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Mo 25.06.2007
Autor: angela.h.b.


> Für welche natürlichen Zahlen gilt a  [mm]\ge[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] a –
> c [mm]\ge[/mm] b – c ?
>  (Multiplikation, Distributivgesetz, Monotonie- und
> Kürzungsregeln in (N, + ,  , ) seien als
> bekannt vorausgesetzt. Begründen Sie bitte jeweils Ihre
> Teilschritte!)
>  Hallo ihr lieben,
>  bis jetzt habe ich mir überlegt, dass es eigentlich für
> alle a [mm]\ge[/mm] b > c der Fall sein muss.

Hallo,

was meinst Du mit "eigentlich"?


> Die Frage ist nur, wie
> kann ich das Begründen?

Wie man das im einzelnen begründet, hängt davon ab, wie bei Euch die Anordnungsaxiome heißen.

Was ist denn, wenn c zwischen a und b liegt oder [mm] c\ge [/mm] a ist?
(Einen Verdacht kannst Du schöpfen, wenn Du ein paar Experimente mit natürlichen Zahlen machst.)

Ich würde zum Beweis der endgültigen Aussage (a-c)-(b-c) betrachten.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Natürliche Zahlen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Di 26.06.2007
Autor: hmm

Erstmal vielen Dank für Deine Antwort...
Ich habe mir das jetzt folgendermaßen überlegt:

wenn a [mm] \ge [/mm] b dann a-c [mm] \ge [/mm] b-c

Die Monotonie bzgl. + in [mm] \IN [/mm] besagt a < b dann a+b < b+c
Die Definition [mm] \le [/mm] heißt bei b [mm] \le [/mm] a entweder b < a mit b+k=a oder b = a,

Wenn ich das jetzt umdrehe, also b [mm] \le [/mm] a dann b-c [mm] \le [/mm] a-c
und eine Fallunterscheidung mache:

1. Fall:
b=a dann b-c=a-c

2. Fall:
b<a dann

b-c+k=a-c
b+k-c=a-c |Kommutativgesetz
a-c=a-c |laut Definition

oder muss ich das Ganze mit b [mm] \le [/mm] a dann b + (-c) [mm] \le [/mm] a + (-c) rechnen?

Vielen Dank,
hmm



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Bezug
Natürliche Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Di 26.06.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich hatte mir offensichtlich den Aufgabentext nicht richtig durchgelesen.

Das soll sich ja alles in den natürlichen Zahlen abspielen, so daß es völlig richtig ist, daß nur solche c [mm] \in \IN [/mm] infrage kommen mit b>c. (Bzw. [mm] b\ge [/mm] c, falls bei Euch die 0 eine natürliche Zahl ist.)

>  Ich habe mir das jetzt folgendermaßen überlegt:
>  

Zu zeigen ist:

> wenn a [mm]\ge[/mm] b dann a-c [mm]\ge[/mm] b-c
>  
> Die Monotonie bzgl. + in [mm]\IN[/mm] besagt a < b dann a+b a+c < b+c

für alle c [mm] \in \IN. [/mm]


Hm. Habt Ihr b<a so definiert: es gibt ein [mm] k\in \IN [/mm] mit b+k=a?
Wenn ja, kannst Du es wohl so ähnlich machen, wie von Dir geplant.
Allerdings mußt Du unbedingt Klammern verwenden und nichts ohne Begründung tun.
Wie habt ihr denn x-y erklärt? Denn die Subtraktion verwendet man ja auch fleißig.

Dies hier

> 2. Fall:
> b<a dann

> b-c+k=a-c

ist so nicht richtig, denn man kann den Schritt von der Voraussetzung zu der Zeile überhaupt nicht nachvollziehen.


>
> 2. Fall:

Sei

>  b<a  ,

d.h. b+k=a für ein k [mm] \in \IN [/mm]
und c<b.

Dann gilt: es ist a-c [mm] \in \IN. [/mm] (Das ist zu begründen)

Es ist
a-c
=(b+k)-c
=b+(k-c)   Begründung?
=b+(-c+k)  Begründung?
[mm] =\underbrace{(b-c)}_{\in \IN. Begr.}+k [/mm]    Begründung?

==> b-c<a-c

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Natürliche Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Di 26.06.2007
Autor: hmm

Vielen Dank, hast mir echt weitergeholfen!

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