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| Aufgabe | | Zeige: Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element |
Hallo!
Meine Idee ist es, die Aussage mit Hilfe der Induktion zu beweisen.
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] M_n \subset \IN
[/mm]
[mm] 1.M_1 [/mm] ist wahr.
[mm] 2.M_n [/mm] ist wahr [mm] \Rightarrow M_{n+1} [/mm] ist wahr.
Beweis:
[mm] L=\{n\in \IN / M_n ist wahr \}
[/mm]
Weiter weiß ich leider nicht.......
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Die Idee ist gut, aber es reicht doch nicht, einfach zu sagen: [mm] M_n [/mm] ist wahr.
Das musst du zeigen.
Jede Menge [mm] M_1 [/mm] enthält nur ein Element, das zugleich ihr kleinstes ist.
Nun kommt ein zweites Element dazu, und bilden eine Menge [mm] M_2.
[/mm]
Welches ist das kleinste Element? Es gibt zwei Möglichkeiten...
Ab da zeigt sich die Stärke der Induktion.
Wenn ein drittes Element hinzutritt, gibt es trotzdem nur noch zwei Möglichkeiten, welches das kleinste ist.
Das musst Du zeigen.
Nebenbei: Du darfst wahrscheinlich nicht voraussetzen, dass [mm] \IN [/mm] wohlgeordnet ist, oder? Dann wärst Du ja sofort fertig.
reverend
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Hallo reverend,
Ich dachte mir:
L= [mm] M_1 [/mm] ist wahr [mm] \wedge M_2 [/mm] ist wahr [mm] \wedge M_3 [/mm] ist [mm] wahr........\wedge M_n [/mm] ist wahr [mm] \Rightarrow M_{n+1} [/mm] ist wahr
es ist ja nicht vollständig... Habe irgendwie einen Hänger, tschuldige...:-(
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Und warum ist es wahr?
Jetzt sag nicht: das sieht man.
Das reicht nicht.
Wenn ich zeigen will, dass jede gerade Zahl als Summe zweier ungerader dargestellt werden kann, dann kann ich doch auch nicht so vorgehen:
2=1+1 ist wahr
4=1+3 ist wahr
geht also immer, auch für 1168.
Ich kann aber z.B. sagen:
Sei die gerade Zahl n=2m
Nun gilt 2m=1+(2m-1).
1=(2*1-1) ist ungerade, (2*m-1) ist ungerade.
Also können alle geraden Zahlen als Summe zweier ungerader Zahlen dargestellt werden.
Für diesen Beweis (hier ja auch nur als Skizze, z.B. ohne Definitionsmengen) ist einfach oBdA eine der beiden ungeraden Zahlen als 1 festgelegt worden. Das ist nicht unbedingt nötig, aber der Beweis wird länger und unübersichtlicher.
Warum folgt bei Dir also aus [mm] M_n [/mm] ist wahr [mm] \Rightarrow M_{n+1} [/mm] ist wahr?
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Ach so.
Ich habe einen fehler gemacht, ( ich habe das auf Aussagen bezogen).
In der Vorlesung hatten wir eine andere Variante des Induktions-Prinzip
Sei oBdA
[mm] M_1=\{1\}
[/mm]
[mm] M_2=\{1,a_1\} [/mm] für [mm] a_1\in \IN [/mm]
[mm] M_n=\{1,a_1,......,a_n\} [/mm] für [mm] a_1,.....a_n \in \IN
[/mm]
Da wäre ja 1 immer das Kleinste Element...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hmmm.
Kommt denn in jeder nichtleeren Teilmenge von [mm] \IN [/mm] auch die 1 vor?
Ich finde nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Mi 31.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Tipp.
Die Induktionsvoraussetzug lautet in Worten:
In jeder Menge [mm] M_{n} [/mm] gibt es ein kleinstes Element [mm] a_{M_{n}}
[/mm]
Der Induktionschritt in Worten:
Betrachtet man die Menge [mm] M_{n+1}=M_{n}+b
[/mm]
Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
[mm] b
Oder [mm] b\le a_{M_{n}}
[/mm]
Was heisst das nun für die Existenz eines Minimums in [mm] M_{n+1} [/mm] ?
Darüber mach dir jetzt mal Gedanken.
Marius
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Hallo M.Rex.
Ein Bsp.:
[mm] M_n=M_3=\{2,3,4\} [/mm] d. h. inf [mm] M_3=min M_3= [/mm] 2
[mm] M_{n+1}=M_4=\{1,2,3,4} [/mm] d.h. inf [mm] M_{n+1}=min M_{n+1}=1
[/mm]
1<2 ???
Das wäre ein Gegenbeispiel, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Fr 02.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Behauptung ist ja, dass es ein kleinstes Element gibt. Und auch dein [mm] M_{4} [/mm] hat ein kleinstes Element
Was willst du also mit 1<2 sagen? Ob das Minimum (Waurm gibt es das überhaupt?) von [mm] M_{n+1} [/mm] grösser, gleich oder kleiner als das von [mm] M_{n} [/mm] ist, ist irrelevant, wichtig ist, dass es eines gibt.
Marius
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