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Forum "Differentialgleichungen" - Navier-Stokes, schwache Form.
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Navier-Stokes, schwache Form.: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:44 Sa 09.08.2014
Autor: Mr.Sugar

Aufgabe
Bestimmen Sie die schwache Formulierung des folgenden Systems:

[mm] $\Delta [/mm] u + [mm] u\nabla [/mm] u + [mm] \nabla [/mm] p = 0$ in [mm] $\Omega$ [/mm]
div $u = 0$ in [mm] $\Omega$ [/mm]
$u = [mm] u_{0} [/mm] $ auf [mm] $\Gamma_{in}$ [/mm]
$u = 0$ auf [mm] $\Gamma_{0}$ [/mm]
$pn - [mm] \bruch{\partial u}{\partial n} [/mm] = 0$ auf [mm] $\Gamma_{out}$ [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen und danke schon einmal im Vorraus!

Zunächst habe ich einige Probleme, die obige Schreibweise korrekt zu interpretieren. Die Aufgabe ist eigentlich allgemein gehalten, in dem Sinne, dass der [mm] $\IR^{d}$ [/mm] betrachtet wird, ich möchte mich aber direkt auf den [mm] $\IR^{3}$ [/mm] zurückziehen.

Also [mm] $u:\IR^{3}\rightarrow\IR^{3}$ [/mm] und [mm] $p:\IR^{3}\rightarrow\IR$. [/mm]
Das ist doch richtig so? $u$ wird ja als Geschwindigkeit interpretiert und diese hat eine Richtung und einen Betrag!?

Zu den einzelnen Termen:

[mm] $\Delta [/mm] u = [mm] \sum_{i=1}^{3} \bruch{\partial^{2}u}{\partial^{2}x_{i}}$ [/mm] also [mm] $\in \IR^{3}$. [/mm]

[mm] $\nabla [/mm] p [mm] \in \IR^{3}$ [/mm] ist klar.

[mm] $u\nabla [/mm] u$ ist mir nicht ganz geheuer. Laut Wiki ist dies Tensorschreibweise für die []Strömungsbeschleunigung und in ihm steckt der []Advektions OperatorEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

. Demnach wäre also:
$u\nabla u = \sum_{i=1}^{3} u_{i}\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}}$ also auch $\in \IR^{3}$. Mich stört aber die genaue Schreibweise: Aufgabenstellung $u\nabla u$ und Wiki $u*\nabla u$.
Kann jmd bestätigen, dass beide Ausdrücke gleich zu setzen sind?

Von diesem System benötige ich nun die schwache Formulierung:

$a((u,p),(v,q)) = L((v,q))$ wobei $(v,q)$ entsprechende Testfunktionen sind.
Dies habe ich allerding bisher nur für eindimensionale Funktionen getan und da wird einfach mit $v$ bzw. $q$ multipliziert und über $\Omega$ integriert. Wie sieht aber hier die Multiplikation im $\IR^{3}$ aus? Wird hier über das Skalarprodukt $<*,*>$ integriert? Also:

$\integral_{\Omega}<\Delta u,v> + <u\nabla u,v> + <\nabla p,v>\, dx  = 0$

$\integral_{\Omega}$div $ u*q\, dx  = 0$

Mit freundlichen Grüßen Mr.Sugar

        
Bezug
Navier-Stokes, schwache Form.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Di 09.09.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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