Negative Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien [mm] X_{1}, X_{2} [/mm] unabhängige, geomatrisch mit Parameter p verteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass [mm] X_{1}+X_{2} [/mm] negativ binomialverteilt mit Parametern p und 2 ist. |
Hallo.
Folgende Gedanken habe ich mir schon zu obiger Aufgabe gemacht:
Für die geomterische Verteilung gilt
[mm] P(X=n)=p*(1-p)^{n-1}
[/mm]
Für die negative Binomialverteilung gilt
[mm] P(X=n)=\vektor{n-1 \\ r-1}p^{r}*(1-p)^{n-r}
[/mm]
Um die gemeinsame Verteilung zu berechnen habe ich die Faltungsformel verwendet:
[mm] P((X_{1}+X_{2})=n)=\summe_{s=0}^{n}P(X_{1}=s)*P(X_{2}=n-s)
[/mm]
[mm] =\summe_{s=0}^{n}p*(1-p)^{s-1}*p*(1-p)^{n-s-1}
[/mm]
[mm] =\summe_{s=0}^{n}p^{2}*(1-p)^{n-2}
[/mm]
Da das, was in der Summe steht, nicht mehr von s abhängt, kann ich ja folgendermaßen umformen:
[mm] =(n+1)*p^{2}*(1-p)^{n-2}
[/mm]
Das was nach dem (n+1) steht ist ja nun schon richtig.
Mein Problem ist nun, dass da statt dem (n+1) ein [mm] \vektor{n-1 \\ 1}=n-1 [/mm] stehen müsste.
Ich weiß nicht, was mein Fehler ist und hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.
Viele Grüße,
SoB.DarkAngel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Sa 04.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo SoB.DarkAngel,
ich habe jetzt nicht viel Zeit, aber ich habe den Eindruck, dass in der
Spezifikation der Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen
Verteilung der Wurm ist. Das kleinste $n$ ist 1 und nicht 0, denn
$P(X=0)=p/(1-p)$ macht keinen Sinn. Bei der geometrischen Verteilung (und
der neg. Binomialverteilung) muss man aufpassen, was man modelliert: Die
Anzahl der Fehlwuerfe vor dem ersten Treffer (dann beginnt's bei 0) oder
die Anzahl Wuerfe insgesamt (dann beginnt's bei 1).
hth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 08.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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