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| Aufgabe | (a) Die Vektoren [mm] \overrightarrow{p} \ = \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] und [mm] \overrightarrow{q} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] schliessen einen rechten Winkel ein. Der Vektor [mm] \overrightarrow{p} [/mm] hat die Länge 15. Ferner gilt: [mm]x \ + \ 5z \ = 0 \ [/mm], mit [mm]x > 0 [/mm].
Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors [mm] \overrightarrow{p} [/mm].
(b) Mit den Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} \ = \ \overrightarrow{p} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} \ = \ k* \overrightarrow{q}[/mm] mit [mm]k \ > \ 0[/mm] wird vom Punkt [mm]A \ (-2 \ / \ 1 \ / \ 7 \ ) [/mm] ein Quadrat [mm]ABCD [/mm] aufgespannt.
Bestimmen Sie [mm]k[/mm] und die Koordinaten der Eckpunkte [mm]B, C[/mm] und [mm]D [/mm] des Quadrates.
(c) Der Ursprung [mm]O[/mm] ist die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche [mm]ABCD[/mm].
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. |
*** nis rumgepostet ***
(a)
Drei Bedingungen liefern drei Gleichungen:
1. Orthogonalität
[mm]\overrightarrow{p}*\overrightarrow{q}=2x+2y-z=0[/mm]
2. Seitenlänge = 15
[mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=15 [/mm]
3. Zusatzbedingung
[mm]x+5z=0[/mm]
Von den zwei Lösungstripeln (-10,11,2) und (10,-11,-2) entfällt das erste wegen x>0.
[mm]\overrightarrow{p}= \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
(b)
(b 1) Faktor k
[mm] |k*\overrightarrow{q}|= \wurzel{(2k)^{2}+(2k)^{2}+(-k)^{2}}=15[/mm]
[mm] k = \pm5 \ und \ wegen \ k>0 \Rightarrow k=5 [/mm]
(b 2) Eckpunkte
[mm]A(-2,1,7)[/mm] ist bereits gegeben
[mm] \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ -5 \end{pmatrix}, \ \ \ B(8,-10,-5)[/mm]
[mm] \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ C(18,0,0)[/mm]
[mm] \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \\ 2 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \ \ D(8,11,2)[/mm]
(c)
Fusspunkt der Höhe [mm]h [/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].
[mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].
[mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC} [/mm]
[mm]\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} + \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 4.5 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{12^{2}+ 4.5^{2}+6^{2}+} = 14.151 [/mm]
Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 14.151=1061.33 [/mm]
Ich denke, dass stimmt so.
Bitte trotzdem akribisch auf Fehler prüfen. Auch einfachere oder alternative Lösungen sind willkommen.
Aus dem hochsommerlichen Zürich grüsst
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Disap |
Grüezi.
> (a) Die Vektoren [mm]\overrightarrow{p} \ = \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{q} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> schliessen einen rechten Winkel ein. Der Vektor
> [mm]\overrightarrow{p}[/mm] hat die Länge 15. Ferner gilt: [mm]x \ + \ 5z \ = 0 \ [/mm],
> mit [mm]x > 0 [/mm].
> Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors
> [mm]\overrightarrow{p} [/mm].
>
> (b) Mit den Vektoren [mm]\overrightarrow{AB} \ = \ \overrightarrow{p}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{AD} \ = \ k* \overrightarrow{q}[/mm] mit [mm]k \ > \ 0[/mm]
> wird vom Punkt [mm]A \ (-2 \ / \ 1 \ / \ 7 \ )[/mm] ein Quadrat
> [mm]ABCD[/mm] aufgespannt.
> Bestimmen Sie [mm]k[/mm] und die Koordinaten der Eckpunkte [mm]B, C[/mm] und
> [mm]D[/mm] des Quadrates.
>
> (c) Der Ursprung [mm]O[/mm] ist die Spitze einer Pyramide mit der
> Grundfläche [mm]ABCD[/mm].
> Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
> *** nis rumgepostet ***
>
> (a)
> Drei Bedingungen liefern drei Gleichungen:
>
> 1. Orthogonalität
>
> [mm]\overrightarrow{p}*\overrightarrow{q}=2x+2y-z=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Seitenlänge = 15
>
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=15[/mm]
>
> 3. Zusatzbedingung
>
> [mm]x+5z=0[/mm]
>
> Von den zwei Lösungstripeln (-10,11,2) und (10,-11,-2)
> entfällt das erste wegen x>0.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]\overrightarrow{p}= \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Bei a stimmt alles!
>
> (b)
>
> (b 1) Faktor k
>
> [mm]|k*\overrightarrow{q}|= \wurzel{(2k)^{2}+(2k)^{2}+(-k)^{2}}=15[/mm]
>
> [mm]k = \pm5 \ und \ wegen \ k>0 \Rightarrow k=5[/mm]
> (b 2) Eckpunkte
>
> [mm]A(-2,1,7)[/mm] ist bereits gegeben
>
> [mm]\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ -5 \end{pmatrix}, \ \ \ B(8,-10,-5)[/mm]
Edit: der Vorzeichenfehler ist mir nicht aufgefallen, es heisst natürlich:
[mm] B(8,-10,\red{+}5)
[/mm]
> [mm]\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ C(18,0,0)[/mm]
> [mm]\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \\ 2 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \ \ D(8,11,2)[/mm]
> (c)
> Fusspunkt der Höhe [mm]h[/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].
>
> [mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].
>
> [mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} + \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 4.5 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{\red{BC}}
[/mm]
Das halte ich für richtig, aber die Umsetzung nicht.
Laut Rechnung lautet der Vektor
[mm] $\overrightarrow{\red{BC}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm]
$ [mm] \overrightarrow{OC}= \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
Da hast du wohl den falschen Vektor genommen.
> [mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{12^{2}+ 4.5^{2}+6^{2}+} = 14.151[/mm]
>
> Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 14.151=1061.33[/mm]
>
Das habe ich jetzt nicht mehr nachgerechnet, aber die Ansätze waren richtig.
> Ich denke, dass stimmt so.
>
> Bitte trotzdem akribisch auf Fehler prüfen. Auch einfachere
> oder alternative Lösungen sind willkommen.
>
> Aus dem hochsommerlichen Zürich grüsst
Hier im Norden von Deutschland scheint auch die Sonne 
Es grüsst zurück:
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:08 Mo 03.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Disap
Hier folgt mein zweiter Versuch der Volumenberechnung.
(c)
Fusspunkt der Höhe [mm]h [/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].
[mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].
[mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC} [/mm]
[mm]
\overrightarrow{OP}=
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}
+\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}
+ \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 8 \\ 0.5 \\ 3.5 \end{pmatrix} [/mm]
[mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{8^{2}+ 0.5^{2}+3.5^{2}+} = 8.75 [/mm]
Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 8.75=656.25 [/mm]
Gruss aus Zürich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Disap |
> .
> Hallo Disap
Hi.
> Hier folgt mein zweiter Versuch der Volumenberechnung.
Edit II: Huch, so kann man das gar nicht machen, siehe u. a. die Beiträge von mathemak.
> (c)
> Fusspunkt der Höhe [mm]h[/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].
>
> [mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].
>
> [mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC}[/mm]
>
> [mm]
\overrightarrow{OP}=
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}
+\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}
+ \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 8 \\ 0.5 \\ 3.5 \end{pmatrix}[/mm]
Ein großes Problem ist es immer, den richtigen Vektor auszuwählen. Und dann missachtet man teilweise auch noch Minuszeichen, wie auch hier:
B(8,-10,-5)
Edit: So ein Schund. Es handelte sich nur um einen Tippfehler, den ich beim Durchlesen übersprungen habe:
$ [mm] \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ \red{-5} \end{pmatrix}, [/mm] \ \ \ [mm] B(8,-10,\red{-5}) [/mm] $
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
>
> [mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{8^{2}+ 0.5^{2}+3.5^{2}+} = 8.75[/mm]
>
> Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 8.75=656.25[/mm]
>
>
> Gruss aus Zürich
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Disap
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Hallo Disa
Du schreibst:
B(8,-10,-5)
C(18,0,0)
Da versteckt sich ein von mir in der Teilaufgabe b verursachter Vorzeichenfehler, denn es müsste heissen:
B(8,-10,5)
C(18,0,0)
Den Ortsvektor hatte ich richtig berechnet:
[mm] \overrightarrow{OB} \ = \ \vektor{8 \\ -10 \\ 5}[/mm]
Vielleicht ist es wirklich zu heiss um Mathematik zu betreiben 
Gruss aus den Züricher Tropen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Di 04.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Disap
Dann ist ja jetzt alles zur allgemeinen Zufriedenheit bereinigt.
Herzlichen Dank für Deine unermüdliche Hilfe.
Der einzige Unterschied zum tropischen Regenwald im Sommer ist, dass dort die Affen noch mehr Lärm machen. Einer von Ihnen grüsst Dich
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Fr 07.07.2006 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Die gepostete Lösung enthält meiner Meinung nach einen Fehler!
Warum sollte die Höhe der Pyramide ihren Fußpunkt im Schnittpunkt der grundflächendiagonalen haben? Muss das immer so sein?
Die Trägerebene der Grundfläche hat einen Abstand zum Ursprung.
Am leichtesten zu berechnen mit der Hesse'schen Normalform oder über den Schnittpunkt der Ursprungsgeraden mit der Trägerebene!
Kontrollergebnis: 6 LE
Volumen: 450 VE
Gruß
Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Fr 07.07.2006 | | Autor: | statler |
tut mir leid, Disap, daß ich an deinem Beitrag herumnörgeln muß, aber die Umstände sind gegen dich.
> > Hallo!
>
> Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
>
> > Die gepostete Lösung enthält meiner Meinung nach einen
> > Fehler!
>
> Finde ich nicht.
>
> > Warum sollte die Höhe der Pyramide ihren Fußpunkt im
> > Schnittpunkt der grundflächendiagonalen haben? Muss das
> > immer so sein?
>
> Weil das eine quadratische Pyramide ist. Die quadratischen
> Pyramiden gehören zu den regelmässigen Pyramiden. Und dort
> liegt der Höhenfusspunkt nun einmal im Mittelpunkt des
> Vielecks.
>
> > Am leichtesten zu berechnen mit der Hesse'schen Normalform
> > oder über den Schnittpunkt der Ursprungsgeraden mit der
> > Trägerebene!
> >
> > Kontrollergebnis: 6 LE
> >
> > Volumen: 450 VE
>
> Das Ergebnis macht in der Tat mehr Sinn, vom äußerlichen
> her, aber wenn wir den Abstand so berechnen, haben wir
> nicht mehr die klassische quadratische Pyramide (d. h. mit
> dem Höhenfusspunkt in der Mite).
> Ich erkenne keinen Hinweis in der Aufgabe, dass es keine
> regelmässige Pyramide sein soll.
Da braucht man keine Hinweise, in der Aufgabe sind direkt oder indirekt alle 5 Punkte der Pyramide gegeben. 4 davon bilden 1 Quadrat, das die Grundfläche sein soll. Der Ursprung 0 liegt, wo er eben liegt, und fragt nicht lange, ob das genau mittig über der Grundfläche ist oder nicht. Ich hab nix nachgerechnet, aber die Höhe ist auf jeden Fall der Abstand der Spitze von der Grundfläche.
Also: Ob die Zahlen stimmen, weiß ich nicht, aber auch eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche kann ganz schön schief sein. Du kannst z. B. einen Würfel in 3 (kongruente) quadratische Pyramiden zerlegen.
Gruß aus dem schwülen HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Fr 07.07.2006 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
So ist es. Die Höhe ist der Abstand der Trägerebene (der Grundfläche) zum Ursprung. Die Lage der Höhe und der Höhenfußpunkt ist nicht relevant. Prinzip von Cavalieri!
Man kann die Aufgabe aber wie folgt ergänzen, um den vorhandenen Fehler zu vermeiden:
"Die Seitenkanten zur Spitze O bilden mit der Grundfläche Schnittwinkel! Berechnen Sie die Winkel bei A und B! Was können Sie aus Ihren Ergebnissen für die Lage der Höhe folgern?"
Auch noch interessant: "Beschreiben Sie die Lage der Höhe!" (Fußpunkt liegt innerhalb des Dreiecks ABD)
Gruß
mathemak
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Danke Markus, Disap und Dieter dass Ihr an meiner Aufgabe nicht locker gelassen habt. Ich bin auch in mich gegangen und berechne das Volumen nun wie folgt:
Ansatz: Ebene des Quadrats [mm](ABCD) \ = \ Q[/mm].
[mm]Q \ = \ ex+fy+gz+d=0 [/mm]
Normale auf Ebene mittels Vektorprodukt
[mm]n_{Q} = \overrightarrow{p} \ \times \ \overrightarrow{q} \ = \ \vektor{10\\-11 \\-2} \ \times \ \vektor{2\\2\\-1} \ = \ \vektor{15\\6\\42} [/mm]
Einen Punkt der Ebene in Ebenengleichung von [mm]Q [/mm] Einsetzen, z.B. [mm]A(-2/1/7) [/mm]
[mm]Q(A): \ 15(-2) \ + \ 6(1) \ + \ 42 (7) \ + \ d \ = \ 0 [/mm]
[mm] d \ = \ -270[/mm]
[mm]Q: \ 15x \ + \ 6y \ + \ 42z \ - \ 270 \ = \ 0 [/mm]
Länge der Normalen:
[mm] |n_{Q}| \ = \ \wurzel{15^{2}+6^{2}+42^{2}} \ = \ 45[/mm]
Abstand Ebene zum Ursprung mittels HNF:
HNF [mm] \ = \ \bruch{linke Seite von Q}{ | n_{Q} | } = \ 0 \[/mm]
[mm] = \ | \ \bruch{15x \ + \ 6y \ + \ 42z \ - \ 270 \ }{45} \ | \ = \ 0 [/mm]
Ursprung [mm](0/0/0) [/mm] in HNF einsetzen:
[mm] | \ - \bruch{270}{45} | \ = \ 6 \ LE [/mm]
Volumen:
[mm]V= \bruch{s^{2}}{3}* h= \bruch{225}{3} *6=450 \ VE [/mm]
Nochmals ganz herzlichen Dank.
Aus Zürich grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:38 Sa 08.07.2006 | | Autor: | mathemak |
Hallo BeniMüller!
Super!
Schau' Dir mal die Zahlen im Normalenvektor an! Die haben alle was gemeinsam! Jedes Vielfache (ungleich 0) des Normalenvektors ist ebenfalls Normalenvektor nur wird halt manchmal die Rechnung einfacher!
$ [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 14}$ [/mm] tut's auch.
Gruß
Markus
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Für mich ist diese Frage 100 pro beantwortet
Wie kann ich es bewerkstelligen, das der Status meiner Frage zu "beantwortet" mutiert.
Gruss aus den Tropen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 So 09.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
> Für mich ist diese Frage 100 pro beantwortet
>
> Wie kann ich es bewerkstelligen, das der Status meiner
> Frage zu "beantwortet" mutiert.
ich hab das mal (alsd Mod) gemacht. Ob du das selbst auch umstellen kannst, weiß ich gar nicht.
Hier oben heute nur noch Subtropen (weit unter 40° C), aber Luftfeuchte hundert Pro
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 So 09.07.2006 | | Autor: | Disap |
Servus,
> ich hab das mal (alsd Mod) gemacht. Ob du das selbst auch
> umstellen kannst, weiß ich gar nicht.
kann er nicht...Vielleicht sollte man das aber mal ermöglichen, dass der Fragesteller den Status auch auf beantwortet setzen kann.
Gruß
Disap
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![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
Oh je, da hätte ich lieber mal besser nachgeschaut. Den Tippfehler hatte ich übersehen, dann stimmt alles. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
