Neutrales Element < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 29.04.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Leute,
ich lese in jeder Fachliteratur, dass das neutrale Element einer Untergruppe gleich dem neutralen Element der übergeordneten Gruppe ist, also e [mm] \in [/mm] H und e [mm] \in [/mm] U, wobei [mm] H\subset [/mm] U ist.
Gibt es dafür einen Beweis, ohne die Gruppenhomomorphismus zu bemühen?
Und noch ne Frage: Was bedeutet dieses Zeichen [mm] \oplus [/mm] ?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo silfide,
> ich lese in jeder Fachliteratur, dass das neutrale Element
> einer Untergruppe gleich dem neutralen Element der
> übergeordneten Gruppe ist, also e [mm]\in[/mm] H und e [mm]\in[/mm] U, wobei
> [mm]H\subset[/mm] U ist.
>
> Gibt es dafür einen Beweis, ohne die Gruppenhomomorphismus
> zu bemühen?
Ja. Sei $e$ das neutrale Element von $U$. Wir zeigen
1. [mm] $e\in [/mm] H$
2. $e$ ist neutrales Element von $H$
zu 1.: Da $H$ eine Untergruppe von $U$ ist, gilt [mm] $H\neq\emptyset$, [/mm] etwa [mm] $a\in [/mm] H$. Da $H$ Untergruppe von $U$ ist, ist auch [mm] $a^{-1}\in [/mm] H$, wobei [mm] $a^{-1}$ [/mm] das Inverse von $a$ in $U$ sei. Erneut da $H$ Untergruppe von $U$ ist, folgt [mm] $e=a*a^{-1}\in [/mm] H$.
zu 2.: Zu zeigen ist $e*a=a*e=a$ für alle [mm] $a\in [/mm] H$. Dies folgt aber wegen [mm] $H\subseteq [/mm] U$ (und damit [mm] $a\in [/mm] U$ für alle solchen [mm] $a\in [/mm] H$) direkt daraus, dass $e$ neutrales Element von $U$ ist.
> Und noch ne Frage: Was bedeutet dieses Zeichen [mm]\oplus[/mm] ?
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 So 29.04.2012 | | Autor: | silfide |
Hey Tobias,
super - endlich kapiert... dachte vorher, dass ich das neutrale Element von U und H explizit trennen muss - also bezeichnungstechnisch [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] oder so.
Doofe Idee gewesen.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> super - endlich kapiert... dachte vorher, dass ich das
> neutrale Element von U und H explizit trennen muss - also
> bezeichnungstechnisch [mm]e_{1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm] oder so.
>
> Doofe Idee gewesen.
Doof finde ich sie gar nicht. Sie zeigt, dass du mitdenkst.
(Übrigens auch ein Lob für dein Buch, dass auf die Gleichheit der neutralen Elemente explizit herausstellt. Das ist leider nicht selbstverständlich...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 29.04.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo nochmal,
könnte man nicht einfach voraussetzen, dass sowohl [mm] e_{1} [/mm] als auch [mm] e_{2} [/mm] neutrale Elemente von H sind.
Und sagen, dass gilt:
[mm] e_{1}=e_{1} \circ e_{2}=e_{2}
[/mm]
Also quasi, Beweis mit der Eindeutigkeit neutraler Elemente einer Gruppe??
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 29.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Hallo nochmal,
>
> könnte man nicht einfach voraussetzen, dass sowohl [mm]e_{1}[/mm]
> als auch [mm]e_{2}[/mm] neutrale Elemente von H sind.
>
> Und sagen, dass gilt:
>
> [mm]e_{1}=e_{1} \circ e_{2}=e_{2}[/mm]
>
> Also quasi, Beweis mit der Eindeutigkeit neutraler Elemente
> einer Gruppe??
ja. Ich empfehle Dir das Buch "Algebra" von Karpfinger und Meyberg, denn dort sind solche Sachen sehr schön nachzulesen. Man braucht auch noch nicht mal die Existenz inverser Elemente, es reicht folgendes (ich mache es aus dem Gedächtnis heraus):
1.) Ist $(H, [mm] \circ)$ [/mm] eine Halbgruppe (d.h. [mm] $\circ: [/mm] H [mm] \times [/mm] H [mm] \to [/mm] H$ ist eine Abbildung (beachte, dass diese Notation beinhaltet, dass [mm] "$\circ$ [/mm] nicht aus [mm] $H\,$ [/mm] herausführt"), die assoziativ ist, also $(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ c=a\circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)$ für alle $a,b,c [mm] \in [/mm] H$ erfüllt) und ist [mm] $e=e_H \in [/mm] H$ ein neutrales Element, das heißt es gilt
$$h=e [mm] \circ [/mm] h=h [mm] \circ [/mm] e [mm] \text{ für alle }h \in H\,,$$
[/mm]
so ist [mm] $e\,$ [/mm] eindeutig bestimmt:
Ist nämlich [mm] $e'\,$ [/mm] ein weiteres neutrales Element in [mm] $H\,,$ [/mm] so folgt ja nach "der Definition der Eigenschaft, neutrales Element in [mm] $(H,\circ)$ [/mm] zu sein" sofort
[mm] $$e=e\circ e'=e'\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Nebenbemerkung: [/mm] Beachte, dass man (kurzgesagt) die Notation $a [mm] \circ b:=\circ(a,b)$ [/mm] definiert. D.h. die Assoziativität oben würde man formal sauber in Funktionenschreibweise etwa so notieren können - Du siehst dann auch den Vorteil der "altbekannten/altbewährten" Notation im Vergleich zu der folgenden:
[mm] $$\circ(\circ(a,b),c)=\circ(a,\circ(b,c)) \text{ für alle }a,b,c \in H\,.\text{)}$$
[/mm]
Beachte auch: Würde man etwa nur $e [mm] \circ [/mm] h=h$ für alle $h [mm] \in [/mm] H$ fordern [mm] ($e\,$ [/mm] nennt man dann nur "linksneutral"), so wäre [mm] $e\,$ [/mm] durch diese Eigenschaft alleine noch nicht eindeutig bestimmt!
Merke auch: Halbgruppen mit neutralem Element nennt man auch Monoid.
Somit folgern wir nun:
2.) Ist $(H, [mm] \circ)$ [/mm] eine Halbgruppe mit neutralem Element [mm] $e=e_H$ ($(H,\circ)$ [/mm] ist also ein Monoid) und $(U, [mm] \circ)$ [/mm] (genauer müßte man eigentlich $(U, [mm] \circ_{|U \times U})$ [/mm] schreiben) eine Unterhalbguppe mit neutralem Element [mm] $e_U$, [/mm] d.h. es gelten auch $U [mm] \subseteq [/mm] H$ und [mm] $\circ_{|U \times U}: [/mm] U [mm] \times U\to U\,,$ [/mm] so stimmt das neutrale Element [mm] $e_U$ [/mm] mit dem aus [mm] $H\,$ [/mm] überein, d.h. dann gilt [mm] $e_U=e_H\,.$
[/mm]
Beweis.
Nach der Definition "neutrales Element in [mm] $(U,\circ)$ [/mm] zu sein" gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;e_U \circ u=u\circ e_U=u \text{ für alle }u \in U\,.$$
[/mm]
Weiter gilt nach der Definition "neutrales Element in [mm] $(H,\circ)$ [/mm] zu sein"
[mm] $$(\*_2)\;\;\;e_H\circ [/mm] h=h [mm] \circ e_H=h \text{ für alle }h \in H\,.$$
[/mm]
Wegen $U [mm] \subseteq [/mm] H$ gilt nach [mm] $(\*_2)$ [/mm] aber insbesondere
[mm] $$(\*_3)\;\;\;e_H \circ u=u\circ e_H=u \text{ für alle }u \in U\,.$$
[/mm]
Nach 1.) ist aber das neutrale Element [mm] $e_U$ [/mm] in dem Monoid [mm] $(U,\circ)$ [/mm] (genauer: [mm] $(U,\circ_{|U \times U})$) [/mm] eindeutig, so dass [mm] $(\*_3)$ [/mm] gerade [mm] $e_H=e_U$ [/mm] liefert.
P.S.
Warum Dass jede Gruppe insbesondere ein Monoid ist, folgt natürlich direkt per Definitionem. kannst Du dann tobit09s Antwort entnehmen! Und natürlich ist jede Untergruppe selbst auch wieder ein Gruppe (das muss/sollte man manchmal beweisen, jedenfalls, wenn man den Begriff nicht gerade eben so definiert hat, dass das per Definitionem sofort klar ist).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 So 29.04.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel, ich glaube deinen Post lese ich nochmal in einer Woche oder zwei... wenn wir in der Vorlesung auch soweit sind mit Halb- und Unterhalbgruppen. Da rauscht es gerade in meinem Kopf *Bahnhof*
Auch wenn ich zu diesen Thema schon einiges gelesen habe. Gerade in den letzten Tagen...
Also reicht mir bzw. meinem Kopf erstmal Tobias Post (weil für meinen momentanen Wissensstand ausreichend)
Danke für die Anregung, ich schaue mir dass noch an mit dem Monoid (was für ein tolles Wort).
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Hallo Marcel, ich glaube deinen Post lese ich nochmal in
> einer Woche oder zwei... wenn wir in der Vorlesung auch
> soweit sind mit Halb- und Unterhalbgruppen. Da rauscht es
> gerade in meinem Kopf *Bahnhof*
Halb- bzw. Unterhalbgruppen sind durch weniger Eigenschaften definiert als Gruppen bzw. Untergruppen - insbesondere ist jede Gruppe eine Unterhalbgruppe mit neutralem Element. D.h. Du kannst das ganze auch so machen:
Du nimmst halt nicht eine nichtleere Unterhalbgruppe mit einem neutralen Element her, sondern nimmst halt meinetwegen eine Gruppe her. Die für den Beweis verwendeten Eigenschaften übertragen sich dann wortwörtlich!
> Auch wenn ich zu diesen Thema schon einiges gelesen habe.
> Gerade in den letzten Tagen...
>
> Also reicht mir bzw. meinem Kopf erstmal Tobias Post (weil
> für meinen momentanen Wissensstand ausreichend)
Kein Thema. Manchmal muss man einfach ein wenig Abstand nehmen, damit sich die Dinge im Kopf sortieren. Sobald sie sortiert worden sind, wirst Du sehen, dass Du das eigentlich auch alles direkt mit Deinem Wissensstand so nachvollziehen kannst!
> Danke für die Anregung, ich schaue mir dass noch an mit
> dem Monoid (was für ein tolles Wort).
Ich habe neulich erst selbst ein tolles neues gelernt: Magma (Mathe).
D.h. eine nichtleere Halbgruppe ist ein Magma, deren Verknüpfung assoziativ ist. Ein Monoid ist eine Unterhalbgruppe, die ein neutrales Element besitzt. Ein nichtleeres Monoid ist ein Magma mit assoziativer Verknüpfung und neutralem Element etc. pp..
Lasse Dich nicht von den Sprechweisen verwirren, wichtiger ist eher, dass man irgendwann weiß, welche Eigenschaften man für was braucht. Und bei der Eindeutigkeit des neutralen Elements weiß ich etwa, dass die Linksneutralität alleine nicht reicht, man braucht auch die Rechtsneutralität - jedenfalls kenne ich nichts, was weniger fordert (was nicht heißt, dass es das nicht geben könnte).
P.S.
Nebenbei: In einer Untergruppe sind auch die Inversen die gleichen wie die der umfassenden Gruppe. Auch das folgt etwa aus der Eindeutigkeit der inversen Elemente einer Gruppe, und eine Untergruppe ist nun mal auch eine Gruppe.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 29.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Und noch ne Frage: Was bedeutet dieses Zeichen [mm]\oplus[/mm] ?
neben Tobis Hinweis, wo es quasi im Sinne einer allgemein üblichen Definition verwendet wird (da gibt's aber ggf. auch noch eine andere, übliche):
Hier würde ich Dich bitten, den Zusammenhang zu erzählen. Ich kann ja auch etwa sagen:
Prüfen Sie, ob [mm] $(\IR\setminus \{1\},\oplus)$ [/mm] mit $r [mm] \oplus s:=r+s-rs\,$ [/mm] eine (kommutative) Gruppe ist!
Dann ist [mm] $\oplus$ [/mm] etwas sehr spezielles (eine spezielle "Verknüpfung" bzw. Abbildung), was ich nun selbst definiere!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 29.04.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
nein, die Verknüpfung wird hier nur allgemein verwendet und wurde nicht weiter definiert. Auch wurde zu der Gruppe keine weiteren Aussagen getroffen. Also völlig allgemein.
Danke
Silfide
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