Neutrales Element der Addition < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, d.h. es gelten (K1)-(K4). Ein neutrales Element e der
Addition sei definiert als Lösung der Gleichung a + e = a für ein a [mm] \in [/mm] K.
Man zeige:
Sei e ein neutrales Element der Addition. Es gilt a + e = a für alle a [mm] \in [/mm] K und e ist eindeutig bestimmt. |
Hallo zusammen.
Ich habe Probleme damit, die Existenz des neutralen Elementes zu zeigen. Ich hätte eine Lösung, wenn ich mit dem inversen Element der Addition arbeiten könnte. Allerdings ist das inverse Element nicht in unseren Axiomen enthalten...
Unsere Axiome sind:
(K1) Kommutativgesetz: a+b = b+a
(K2) Assoziativgesetz: (a+b)+c = a+(b+c)
(K3) a+x=b ist lösbar, d.h. es existiert x [mm] \in [/mm] K mit a+x=b
(K4) Distributivgesetz: a*(b+c) = a*b + a*c
Ich hab leider gar keine Idee, wie ich das neutrale Element mit diesen Axiomen beweisen soll...
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Sa 28.10.2006 | | Autor: | no-name |
Es gilt noch folgendes Axiom:
(K5) Existens von Null, d.h.
es gibt ein Element 0 [mm] \in [/mm] K, so daß x + 0 = x für alle x [mm] \in [/mm] K.
Insgesamt gibt es 9 Körperaxiome.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo no-name,
ich weiß, dass es die Existenz des Nullelementes als Axiom gibt.
Aber genau dieses Axiom soll ich ja aus den Axiomen K1-K4 beweisen, und weiß nicht wie ich das anstellen soll.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Sa 28.10.2006 | | Autor: | no-name |
Wie wäre es damit:
K1) a+b = b+a , b [mm] \in \IK
[/mm]
Fall: b = 0, dann folgt a + 0 = 0 + a [mm] \gdw [/mm] a + 0 = a für [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IK
[/mm]
Nur ein Lösungsvorschlag, auch ich kann mich irren.
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Hallo Nadine,
hier nochmal die Aufgabe:
Aufgabe
"Sei K ein Körper, d.h. es gelten (K1)-(K4). Ein neutrales Element e der
Addition sei definiert als Lösung der Gleichung a + e = a für ein a
$ [mm] \in [/mm] $
K.
Man zeige:
Sei e ein neutrales Element der Addition. Es gilt a + e = a für alle a
$ [mm] \in [/mm] $
K und e ist eindeutig bestimmt."
Ausführlich: es gibt ein $a in K$ mit $a+e=a$. Zu zeigen: Ist [mm] $b\in [/mm] K$ beliebig, dann gilt $b+e=b$.
Aus (K3) wissen wir, daß es ein $x [mm] \in [/mm] K$ gibt mit $a+x=b$. Mit Assoziativgesetz:
a+(e+x)=(a+e)+x =b.
Aus Kommutativ- und Assoziativgesetz folgt:
a+(e+x)=a+(x+e)=(a+x)+e=b.
Jetzt noch eine letzte Substitution und fertig!
Zur Eindeutigkeit: Angenommen, wir haben ein [mm] $e_1\in [/mm] K$ mit [mm] $a+e_1=a$ [/mm] für alle $a [mm] \in [/mm] K$. Hier kannst Du jetzt für $a$ $e$ einsetzen; in den eben bewiesenen Teil setzt Du für $a$ [mm] $e_1$ [/mm] ein und beachtest evtl. noch das Kommutativgesetz - fertig ist der Eindeutigkeitsbeweis!
Hth
zalenspieler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Nadine!
Da K ein Körper ist ist laut Definition die existenz des neutralen Elementes gesichert.
Nun hast du noch die Eindeutigkeit von e zu zeigen. Das kannst du mit einem Widerspruchsbeweis machen. Nimm also an, das es ein zweites Elenent e' [mm] \in [/mm] K gibt mit der eigenschaft a+e'=a und führe das unter Anwendung der Körperaxiome zur Aussage
e= hier deine Beweiskette =e'
Begründe mit Hilfe der Körperaxiome warum die einzelnen Operationen, die du durchführst, angewendet werden dürfen.
MfG
Sashman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Sashman.
Vielen Dank für deinen Hinweis. Ich hatte die Aufgabe so verstanden, dass ich nicht nur die Eindeutigkeit, sondern auch noch die Existenz des neutralen Elementes beweisen müsste, vorallem, weil unser Prof dieses Axiom garnicht aufgeschrieben hat.
Gut, nun mal zu meinem Beweis:
Meine Vorraussetzung ist: a + e = a
Nun nehme ich an, dass es ein weiteres neutrales Element [mm] e_1 [/mm] gibt, mit [mm] e_1 \not= [/mm] e
Dann gilt nach Definition des neutralen Elementes auch a + [mm] e_1 [/mm] = a
Jetzt wende ich die beiden neutralen Elemente auf die neutralen Elemente an:
[mm] e_1 [/mm] + e = [mm] e_1
[/mm]
e + [mm] e_1 [/mm] = e
[mm] \Rightarrow [/mm] e [mm] \underbrace{=}_{neutrales Element} [/mm] e + [mm] e_1 \underbrace{=}_{Kommutativgesetz} e_1 [/mm] + 1 [mm] \underbrace{=}_{neutrales Element} e_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] e = [mm] e_1
[/mm]
Das ist ein Wiederspruch zur Annahme, dass [mm] e_1 \not= [/mm] e
Ist das richtig so?
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Wir bezeichnen nun das eindeutige neutrale Element der Addition mit 0. Ein additives inverses Element x zu a [mm] \in [/mm] K ist definiert als Lösung der Gleichung a+x = 0.
Man zeige, dass x eindeutig bestimmt ist. |
Ich habe es nun auch mal für das inverse Element versucht. Hier muss ich also auch nur die Eindeutigkeit zeigen, richtig?
Also meine Vorraussetzung ist: a + x = 0
Nun nehme ich an, dass es noch ein anderes Elemnet gibt dass diese gleichung erfüllt: a + [mm] x_1 [/mm] = 0 mit x [mm] \not= x_1
[/mm]
x [mm] \underbrace{=}_{neutrales Element} [/mm] x + 0 = x + (a + z) [mm] \underbrace{=}_{Assoziativgesetz} [/mm] x + (a + z) [mm] \underbrace{=}_{Kommutativgesetz} [/mm] x + (z + a) = 0 + z [mm] \underbrace{=}_{Kommutativgesetz} [/mm] z
Damit ist x = z, und das ist ein Widerspruch zur Annahme.
Also existiert nur ein inverses Element.
Ist das richtig so?
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Man formuliere und beweise analoge Aussagen zu für die Multiplikation. |
Ich hab das ganze jetzt auch nochmal für die Multiplikation versucht.
Leider stehen jetzt hier keine Vorraussetzungen, aber ich gehe mal davon aus, dass sind a * e = a und a * x = 0.
Beweis der Eindeutigkeit für das multiplikative neutrale Element
Vorraussetzung: a * e = a
Annahme: Es ex. ein weiteres neutrales Element [mm] e_1 [/mm] mit [mm] e_1 \not= [/mm] e und a * [mm] e_1 [/mm] = a
Für [mm] e_1 [/mm] gilt nach Vorraussetzung: [mm] e_1 [/mm] * e = [mm] e_1
[/mm]
Für e gilt nach Annahme: e * [mm] e_1 [/mm] = e
Dann ist e = e * [mm] e_1 [/mm] = [mm] e_1 [/mm] * e = [mm] e_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] e = [mm] e_1 [/mm] und das ist ein Widerspruch zur Annahme.
Es existiert also kein zweites neutrales Element.
Ist das richtig so?
Beweis der Eindeutigkeit für das multiplikative inverse Element
Vorraussetzung: a * x = 0
Annahme: Es ex. ein weiteres inverses Element [mm] x_1 [/mm] mit [mm] x_1 \not= [/mm] x und a * [mm] x_1 [/mm] = 0
Dann ist x [mm] \underbrace{=}_{neutrales Element} [/mm] x * 1 = x * (a * [mm] x_1) [/mm] = (x * a) * [mm] x_1 [/mm] = 1 * [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * 1 [mm] \underbrace{=}_{neutrales Element} x_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] x_1 [/mm] und das ist ein Widerspruch zur Annahme.
Es existiert also kein zweites inverses Element.
Ich war mir nicht ganz sicher, ist das neutrale Element 1? Weil damit konnte ich das dann ganz analog zur Addition machen.
Ist das alles richtig so?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
ja, bis auf ein paar "Feinheiten" ist das richtig.
1. Wahrscheinlich einfach übersehen  : Das Assoziativ- und Kommutativgesetz ausdrücklich aufzuschreiben; du hast es aber später benutz. Es gibt natürlich Verknüpfungen auf Mengen, wo das Assoziativgesetz nicht gilt.
2. Du hast vorausgesetzt $a*x=0$, $a*e=a$. Afaik wird mit "0" meist das neutrale Element der Addition bezeichnet. Gemeint war wohl $a*x=b$ oder ?
Angenommen, 1=0 (1 neutr. Element bzgl. *, 0 das neutrale Element bzgl. +.. Ist $a #ne 0$, dann ergibt sich $a*1=a$; weiter kann man zeigen, daß für jedes $a$ $a*0=0$ gilt. D.h. aus den Axiomen würde sich ein Widerspruch ergeben. Darum fordert man wohl bei Körpern/Ringen mit Einselement, daß die neutralen Elemente verschieden sind.
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 So 29.10.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Zahlenspieler,
> Hallo Nadine,
> ja, bis auf ein paar "Feinheiten" ist das richtig.
> 1. Das Assoziativ-
> und Kommutativgesetz ausdrücklich aufzuschreiben; du hast
> es aber später benutz.
Oh ja, das sollte ich vielleicht noch dranschreiben
> 2. Du hast vorausgesetzt [mm]a*x=0[/mm], [mm]a*e=a[/mm]. Afaik wird mit "0"
> meist das neutrale Element der Addition bezeichnet. Gemeint
> war wohl [mm]a*x=b[/mm] oder ?
1. Was heißt "Afaik"?
2. Also ich meinte eigentlich schon a*x=0 und nicht a*x=b. Ich hab das ganz analog zu den Beweisen für die Addition gemacht (siehe die beiden Threads dadrüber). Da hat der Prof für das neutrale Element der Addition a+e=a als Vorraussetzung gegeben und für das inverse Element a+x=0. Dementsprechend hab ich das für die analog für die Multiplikation übernommen. Ich seh nur grad, dass es statt a*x=0 eigentlich a*x=1 heißen muss, da ja bei Multiplikation mit dem Inversen 1 rauskommt und nicht Null.
Könntest du vielleicht noch über meine beiden Beweise zur Addition drüberschauen? Das wär echt super.
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
ah, ich dachte, ich wär nur so ein "Abkürzungsmuffel" . Afaik = as far as I know.
Hab mir gerade Deine Beweise angesehen. Sind so richtig; nur hast Du dann mal zwischendurch die Bezeichnungen gewechselt, das macht's etwas schwierig nachzuvollziehen  .
Find ich gut, daß Du bei den Umformungen dazuschreibst, was Du dabei benutzt. nur würd' ich's nicht mit [mm] [u]\underbrace[/u] [/mm] machen; dafür gibt's z.B. Textboxen (Befehle z.B. [mm] \mbox, \text [/mm] oder so...) Aber das nur so am Rande. Kenn mich noch nich so gut mit der LaTeX-Schnittstelle aus.
Viel Spaß noch
zahlenspieler
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