Newton-Verfahren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie eine Folge aus rationalen Zahlen an, die gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert, indem Sie die Gleichung x²=2 ausgehend vom Startwert x=2 mit dem Newton-Verfahren lösen. |
Wahrscheinlich ist es mal wieder total einfach und ich steh nur auf dem schlauch...
Also das Newton-Verfahren lautet: [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
Leider weiß ich grad nicht, wie ich am schlausten anfange....
Kann mit jemand nen Tipp geben? Wie kann ich die gegebene Gleichung x²=2 verwenden?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 20.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Also das Newton-Verfahren lautet:
> [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
..zusammen mit einem Anfangswert [mm] x_1
[/mm]
Das ist die eine Seite der Weisheit. Die andere beantwortet die Frage, was das Newton-Verfahren denn eigentlich leistet. Die Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert unter gewissen Voraussetzungen gegen eine Nullstelle der Funktion f.
>
> Leider weiß ich grad nicht, wie ich am schlausten
> anfange....
>
> Kann mit jemand nen Tipp geben? Wie kann ich die gegebene
> Gleichung x²=2 verwenden?
>
> LG
Du benutzt sie, um eine Funktion f zu konstruieren (keine Angst, das ist auf die denkbar einfachste Art möglich), deren Nullstelle(n) Lösung der Gleichung ist; dann wendest du auf diese Funktion f das NV an.
Gruß Sax.
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Also, das das Newton-Verfahren die Nullstellen liefert bzw. anähernd ist mir eigentlich schon klar.
Kann ich dann einfach f(x)=x²-2 wählen? Da wären die Nullstellen ja bei [mm] \pm\wurzel{2}...
[/mm]
Die ersten Schritt wäre dann:
[mm] x_2=2-\bruch{2^2-2}{2*2}=1,5
[/mm]
[mm] x_3=1,5-\bruch{1,5^2-2}{2*1,5}=1,416666
[/mm]
Aber die Folge habe ich ja dann eigentlich immer noch nicht...
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Aber die Folge habe ich ja dann eigentlich immer noch nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 20.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was heißt schon "haben" ?
Natürlich hast du sie, der Beweis ist, dass du die ersten Folgenglieder angegeben hast und sicherlich auch noch weitere angeben könntest.
Schreibe die allgemeine Formel aus deinem ersten Beitrag speziell für diese Funktion f auf. Diese rekursive Darstellung ist eine vollständige Definition/Charakterisierung/Festlegung von [mm] (x_n).
[/mm]
Du musst nicht versuchen, einen expliziten Term für [mm] x_n [/mm] anzugeben.
Gruß Sax.
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Kann ich dann als Folge praktisch folgendes angeben:
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^2-2}{2*x_n}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Do 20.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, kannst du, aber du darfst auf keinen Fall vergessen, das [mm] x_1 [/mm] anzugeben!
Außerdem kannst du noch ein bisschen kürzen und zusammenfassen.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:48 Do 20.03.2014 | | Autor: | Kate-Mary |
Danke erstmal dafür. [mm] x_1 [/mm] ist ja durch den Startwert x=2 gegeben.
Zur zweiten Aufgabe...wahrscheinlich läuft die analog. Tut mir jetzt schon Leid, dass ich da nochmal nachfrag (hab heute schon den ganzen Tag furchtbare Migräne und muss die Aufgaben bis morgen haben)
Aufgabe 3 vermutlich auch, aber irgendwie kapier ich da noch weniger :(
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Hmmm irgendwie werden die anderen beiden Aufgaben nicht angezeigt. Also hier:
Aufgabe 2:
Bestimmen sie [mm] \pi [/mm] auf 6 Stellen genau mit dem Newton-Verfahren aus der Gleichung [mm] tan\bruch{x}{4}-cot\bruch{x}{4}=0
[/mm]
Aufgabe 3:
Es sei die Funktion f(x,y)=x³+y³-3xy gegeben. An welcher Stelle bestimmen Sie die Lösung näherungsweise mit dem Newton-Verfahren mit dem Starvektor (2,2), und vergleichen Sie diese Lösung mit der analytischen Lösung.
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Ich hab jetzt doch noch ne Idee gehabt für Aufgabe 2 (die mit [mm] \pi)
[/mm]
Habe f(x)= [mm] tan\bruch{x}{4}-cot\bruch{x}{4}=0 [/mm] mit Mathematica geplottet. Daraus habe ich die ungefähren Nullestellen bei [mm] \pm [/mm] 3 abgelesen und als Startwert [mm] x_1=3 [/mm] gewählt.
Wenn ich jetzt mit [mm] f(x)=tan\bruch{x}{4}-cot\bruch{x}{4} [/mm] das Newton-Verfahren durchrechne, dann komme ich bei [mm] x_3 [/mm] schon auf die 6 ersten Stellen von [mm] \pi.
[/mm]
Anmerkung: f'(x) hab ich mit mathematica berechnet. Das war mir mit Papier und Bleistift jetzt einfach zu viel.
Würde das so passen? (Vorausgesetzt mathematica hat sich nicht verrechnet und ich bin nicht zu blöd zum tippen...)
Bei Aufgabe 3 weiß ich momentan aber leider echt nicht weiter :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Fr 21.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Kate-Mary,
> Ich hab jetzt doch noch ne Idee gehabt für Aufgabe 2 (die
> mit [mm]\pi)[/mm]
>
> Habe f(x)= [mm]tan\bruch{x}{4}-cot\bruch{x}{4}=0[/mm] mit
> Mathematica geplottet. Daraus habe ich die ungefähren
> Nullestellen bei [mm]\pm[/mm] 3 abgelesen und als Startwert [mm]x_1=3[/mm]
> gewählt.
>
> Wenn ich jetzt mit [mm]f(x)=tan\bruch{x}{4}-cot\bruch{x}{4}[/mm] das
> Newton-Verfahren durchrechne, dann komme ich bei [mm]x_3[/mm] schon
> auf die 6 ersten Stellen von [mm]\pi.[/mm]
>
> Anmerkung: f'(x) hab ich mit mathematica berechnet. Das war
> mir mit Papier und Bleistift jetzt einfach zu viel.
>
> Würde das so passen? (Vorausgesetzt mathematica hat sich
> nicht verrechnet und ich bin nicht zu blöd zum tippen...)
Das passt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich rate dir dennoch als Bezeichnung für den Startwert [mm] $x_0$
[/mm]
zu nehmen, denn damit ist es viel deutlicher. Das kannst du
dir auch schnell selbst überlegen.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Fr 21.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Kate-Mary,
> Aufgabe 3:
> Es sei die Funktion f(x,y)=x³+y³-3xy gegeben. An welcher
> Stelle bestimmen Sie die Lösung näherungsweise mit dem
> Newton-Verfahren mit dem Starvektor (2,2), und vergleichen
> Sie diese Lösung mit der analytischen Lösung.
Wir wollen für die Abbildung
[mm] $f:\IR^2\to\IR:(x,y)\to (x^3+y^3-3xy)$
[/mm]
eine (näherungsweise) Nullstelle finden. Dazu wollen wir das
Newton-Verfahren nutzen und verwenden als Startvektor [mm] x_0:=\vektor{2 \\ 2}.
[/mm]
Hier ist ein Leitfaden für dich:
1. Bilde $Df$.
2. Bilde [mm] $(Df)^{-1}$.
[/mm]
3. Berechne
[mm] x_1=x_0-((Df(x_0))^{-1}f(x_0)).
[/mm]
4. Berechne analytisch die Nullstellen von $f$.
5. Vergleiche.
Beim letzten Punkt reicht eine kleine Argumentation. Du kön-
ntest aber auch direkt den Fehler berechnen (Wie?).
Gruß
DieAcht
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Mein Problem ist gerade der 1. Schritt...
Ich muss da ja irgendwie eine Jacobi-Matrix bilden. Das blöde ist, dass alle Beispiele, die ich gefunden hab 2 Gleichungen vorgegeben haben und bei mir steht nur eine...
Muss ich dann einfach diese eine Gleichung jeweils zweimal differenzieren? Problem allerdings: welche der Ergebnisse muss ich welchen einträgen zuordnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Fr 21.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Mein Problem ist gerade der 1. Schritt...
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> Ich muss da ja irgendwie eine Jacobi-Matrix bilden. Das
> blöde ist, dass alle Beispiele, die ich gefunden hab 2
> Gleichungen vorgegeben haben und bei mir steht nur eine...
Ja, so ist es. Im mehrdimensionalen funktioniert das Newtonverfahren nur für Funktionen
$f:D [mm] \to \IR^n$,
[/mm]
wobei D eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist.
Lautet f wirklich so: [mm] f(x,y)=x^3+y^3-3xy [/mm] ?
FRED
>
> Muss ich dann einfach diese eine Gleichung jeweils zweimal
> differenzieren? Problem allerdings: welche der Ergebnisse
> muss ich welchen einträgen zuordnen?
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Ja, die Funktion lautet wirklich [mm] f(x,y)=d^3+y^3-3xy
[/mm]
Heißt das, dass ich das Newton-Verfahren gar nicht anwenden kann?
Falls ja, wie geht der erste Teil der Aufgabe: an welchen Stellen ist die notwendige Bedingung für ein Extremum erfüllt (außer (0,0) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 21.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die Funktion lautet wirklich [mm]f(x,y)=d^3+y^3-3xy[/mm]
>
> Heißt das, dass ich das Newton-Verfahren gar nicht
> anwenden kann?
So sehe ich das
> Falls ja, wie geht der erste Teil der Aufgabe: an welchen
> Stellen ist die notwendige Bedingung für ein Extremum
> erfüllt (außer (0,0) ) Berechne mal die Lösungen des Gleichungssystems
[mm] f_x(x,y)=0
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=0
[/mm]
FRED
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Und [mm] f_x(x,y) [/mm] ist die ableitung nach x?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Fr 21.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und [mm]f_x(x,y)[/mm] ist die ableitung nach x?
Ja
FRED
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Hallo,
> Also, das das Newton-Verfahren die Nullstellen liefert bzw.
> anähernd ist mir eigentlich schon klar.
>
> Kann ich dann einfach f(x)=x²-2 wählen? Da wären die
> Nullstellen ja bei [mm]\pm\wurzel{2}...[/mm]
>
Genau darum kannst du diese Funktion wählen, eine 'einfachere' mit Nullstelle bei [mm] \wurzel{2} [/mm] wirst du nicht finden.
PS: es ist ungünstig, mehrere Fragen aneinander zu hängen, das macht einen Thread schnell unübersichtlich (wegen der hiesigen Baumstruktur der Threads). Versuche also besser, deine Gedanken jeweil in einem Frageartikel zu bündeln.
Gruß, Diophant
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