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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Do 23.10.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | | Leiten Sie für $ f(x) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{\alpha}{x} [/mm] , $ $ x [mm] \in [/mm] [ [mm] \bruch{1}{2},\bruch{3}{2}] [/mm] , $ $ [mm] (\alpha \ne [/mm] 0) $ das Newton-Verfahren zur Berechnung von $ [mm] \sqrt[3]{\alpha} [/mm] $ her. Geben Sie für $ [mm] \alpha [/mm] = 1 $ ein geeignetes Intervall für die Startnäherung $ [mm] x_0 [/mm] $ an. |
Guten Morgen,
ich komme leider mit der Aufgabe nicht zurecht.
Als erstes habe ich die Ableitung gemacht.
$ f(x) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{\alpha}{x} [/mm] $
$ f'(x) = [mm] \bruch{2x+\alpha}{x^2} [/mm] $
ist die Ableitung richtig?
als nächsten Schritt weiß ich schon nicht mehr weiter.
ich weiß nicht, wie man auf $ [mm] \sqrt[3]{\alpha} [/mm] $ kommt.
normalerweise würde ich jetzt die formel hinschreiben, $ f(x) $ und $ f'(x) $ habe ich ja, was würde ich denn alt startwert nehmen?
Mich irritiert das [mm] \alpha [/mm] irgendwie..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Do 23.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Als erstes habe ich die Ableitung gemacht.
>
> [mm]f(x) = x^2 - \bruch{\alpha}{x}[/mm]
> [mm]f'(x) = \bruch{2x+\alpha}{x^2}[/mm]
>
> ist die Ableitung richtig?
Moin, *ich* erhalte [mm]f'(x) = \bruch{2x^3+\alpha}{x^2}[/mm].
>
> als nächsten Schritt weiß ich schon nicht mehr weiter.
>
> ich weiß nicht, wie man auf [mm]\sqrt[3]{\alpha}[/mm] kommt.
Wie sieht eine oder die Nullstelle der Funktion aus, d.h. [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=0$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Do 23.10.2014 | | Autor: | capri |
Danke erstmal,
ok die Nullstellen von $ f(x) $ ist ja gerade $ [mm] \sqrt[3]{\alpha} [/mm] $.
Hmm bei Wolfram zeigt der mir meine Ableitung an.. :S
das heißt mein $ [mm] x_0 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{\alpha} [/mm] $.
$ [mm] x_n_+_1 [/mm] $ = $ [mm] \sqrt[3]{\alpha} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{f(\sqrt[3]{\alpha})}{f'(\sqrt[3]{\alpha})} [/mm] $
wäre das bis hierhin richtig?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Do 23.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal,
>
> ok die Nullstellen von [mm]f(x)[/mm] ist ja gerade [mm]\sqrt[3]{\alpha} [/mm].
>
> Hmm bei Wolfram zeigt der mir meine Ableitung an.. :S
Das glaube ich nicht. Deine Ableitung ist falsch.
>
> das heißt mein [mm]x_0 = \sqrt[3]{\alpha} [/mm].
Nein. Du nimmst ja als Startwert die Nullstelle !!!!
>
> [mm]x_n_+_1[/mm] = [mm]\sqrt[3]{\alpha}[/mm] -
> [mm]\bruch{f(\sqrt[3]{\alpha})}{f'(\sqrt[3]{\alpha})}[/mm]
Völliger Unsinn.
>
> wäre das bis hierhin richtig?
Nein.
FRED
>
> LG
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Do 23.10.2014 | | Autor: | capri |
Hallo,
hm..kann mir jmd helfen weiter zu kommen, da es ja falsch ist?
LG
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> hm..kann mir jmd helfen weiter zu kommen, da es ja falsch
> ist?
Hi capri,
also nochmals von vorne. die Aufgabe war:
| Aufgabe | | Leiten Sie für $ f(x) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{\alpha}{x} [/mm] , $ $ x [mm] \in [/mm] [ [mm] \bruch{1}{2},\bruch{3}{2}] [/mm] , $ $ [mm] (\alpha \ne [/mm] 0) $ das Newton-Verfahren zur Berechnung von $ [mm] \sqrt[3]{\alpha} [/mm] $ her. Geben Sie für $ [mm] \alpha [/mm] = 1 $ ein geeignetes Intervall für die Startnäherung $ [mm] x_0 [/mm] $ an. |
Als erstes habe ich die Ableitung gemacht.
$ f(x) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{\alpha}{x} [/mm] $
$ f'(x) = [mm] \bruch{2x+\alpha}{x^2} [/mm] $
ist die Ableitung richtig?
Diese Ableitung wäre dann richtig, wenn du sie von Wolfram
auch noch richtig abgeschrieben hättest, nämlich:
$ f'(x)\ =\ [mm] 2x+\bruch{\alpha}{x^2} [/mm] $
> als nächsten Schritt weiß ich schon nicht mehr weiter.
> ich weiß nicht, wie man auf $ [mm] \sqrt[3]{\alpha} [/mm] $ kommt.
> normalerweise würde ich jetzt die Formel hinschreiben,
$ f(x) $ und $ f'(x) $ habe ich ja, was würde ich denn als Startwert nehmen?
Die Rekursionsformel kannst du auch hinschreiben, wenn
du noch keinen konkreten Startwert hast. Mach das halt
mal - mit dem richtigen Term für die Ableitung !
> Mich irritiert das $ [mm] \alpha [/mm] $ irgendwie..
Naja, das ist die Zahl, für deren Kubikwurzel gerade
ein Näherungsverfahren entwickelt werden soll. Damit
das Verfahren dann für beliebige (positive) Zahlen
anwendbar wird, steht für diese Zahl hier eine
Konstante [mm] \alpha.
[/mm]
Für die Anwendung des Verfahrens ist es dann natürlich
nützlich, wenn als Startwert eine Zahl genommen wird,
die schon so ungefähr in der Nähe der gesuchten
Kubikwurzel liegen könnte. Ich glaube aber nicht, dass
dies für den vorliegenden Fall wirklich wichtig ist.
Der in der Aufgabe genannte Fall mit [mm] \alpha=1 [/mm] erscheint mir
aber äußerst witzlos - für diesen Fall braucht man nun
wirklich keinerlei Näherungsverfahren !
LG , Al-Chwarizmi
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