Newton-Verfahren < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:56 Di 05.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
$f(x)$ sei eine reelle Funktion einer reellen Variablen (z.B. ein Polynom).
Wir haben einen Ausgangspunkt [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] und eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Das Iterationsverfahren lautet dann: [mm] $x_{n+1}=x_n [/mm] - [mm] f(x_n) [/mm] / [mm] f'(x_n)$ [/mm] mit [mm] $f'(x_n) \not= [/mm] 0$.
Nun ist ja die Wahl des Ausgangspunktes, sprich des Startwertes, ein Problem.
Dazu nimmt man sich also den Einschließungssatz und wählt nach diesem ein spezielles [mm] $x_0$.
[/mm]
Kann mir denn jemand diesen Einschließungssatz erklären?
Danke und viele Grüße,
Regine.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Di 05.10.2004 | | Autor: | choosy |
hm vielleicht sagst du etwas genauer was du mit dem einschliessungssatz meinst?
soweit ich mit erinnere ist das newton verfahren eine fixpunktiteration und damit nach dem banachschem fixpunktsatz auf kontraktionen konvergent.
also wueder ich testen wo die funktion eine kontraktion ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Di 05.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
das Problem ist ja, daß man einen möglichst guten Startwert wählen muß. Und das wird für Polynome erleichtert, indem man anhand des Einschließungssatzes für Polynomnullstellen einen Startwert in einem bestimmten Bereich wählt. Dazu gibt es zwei Formeln:
a) [mm] $|x_0| \le [/mm] max(1, [mm] \summe_{i=0}^{n-1} |a_i|)$
[/mm]
b) [mm] $|x_0| \le max_{i=1,...,n-1} (|a_0|, 1+|a_i|)$.
[/mm]
Und ich würde nun gerne wissen, warum man das so wählt?!
Danke und viele Grüße,
Regine.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Di 05.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
Kannst du uns bitte sagen, wie das die Koeffizienten des Polynoms genau bezeichnet wurden?
So:
$p(x) = [mm] x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}x^{n-2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_0$
[/mm]
oder so:
$p(x) = [mm] a_0 x^n [/mm] + [mm] a_1 x^{n-1} [/mm] + [mm] a_2x^{n-2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n$,
[/mm]
oder noch ganz anders?
War es also normiert oder nicht und fing die Zählung vorne oder hinten an?
Am bestens ist, du gibst das $p(x)$ einfach mal so wie oben an. Wie steht es in eurem Skript?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Di 05.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
$p(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i*x^i$ [/mm] mit [mm] $a_n=1$.
[/mm]
Dieses Polynom habe in [mm] $x_0$ [/mm] eine Nullstelle, also [mm] $p(x_0)=0$.
[/mm]
Und dieses [mm] $x_0$ [/mm] kann man nun mit den im letzten Beitrag von mir genannten Formeln bestimmen.
Danke und viele Grüße,
Regine.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Di 05.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
Man kann zeigen, dass alle Nullstellen des Polynoms in gewissen Intervallen liegen. Ich kenne es so, dass für alle Nullstellen [mm] $x_0$ [/mm] eines Polynoms
$p(x) = [mm] x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0$
[/mm]
gilt:
[mm] $|x_0| \le [/mm] 1 + [mm] \max\{|a_i|\, : \, i=0,1,\ldots,n-1\}$.
[/mm]
Das ähnelt ja der einen Bedingung für den Anfangswert (die noch etwas schärfer ist).
Vermutlich basiert die andere Bedingung auf einer ähnlichen Abschätzung für die Nullstellen.
Wichtig ist also, dass man sich a priori nicht aus dem Gebiet der möglichen Nullstellen entfernt, damit man auf Konvergenz des Newton-Verfahrens hoffen kann.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
