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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion F: [mm] \R^{3} \to \IR [/mm] durch
F(x) = [mm] e^{x_{1}} cos(x_{2}) [/mm] + [mm] 2x_{1} sin(x_{2}) [/mm] + [mm] (1+x_{1})(1-x_{3})^{2}
[/mm]
Zur Bestimmung von Extremalpunkten soll das nichtlineare Gleichungssystem [mm] \Delta [/mm] F(x) = 0 mit Hilfe des Newton-Verfahrens gelöst werden. Stellen Sie die Iterationsvorschrift auf.
(Die dabei auftretenden Matrixinversion soll nicht explizit berechnet werden.) |
Hallo!
Hier ist [mm] \Delta [/mm] F(x) = [mm] (D_{x_{1}} [/mm] F, [mm] D_{x_{2}} [/mm] F, [mm] D_{x_{3}} [/mm] F [mm] )^{t}.
[/mm]
(D ist dabei die partielle Ableitung)
Und somit habe ich berechnet:
[mm] \Delta [/mm] F(x) = [mm] \vektor{ e^{x_{1}} cos(x_{2}) + 2sin(x_{2}) + (1-x_{3})^{2}
\\ -e^{x_{1}} sin(x_{2}) + 2x_{1} cos(x_{2}) \\ (1+x_{1})(-1+x_{3})*2}
[/mm]
und
[mm] \Delta [/mm] F'(x) = [mm] \pmat{ e^{x_{1}} cos(x_{2}) & -e^{x_{1}} sin(x_{2}) + 2cos(x_{2}) & -2+2x_{3}\\ -e^{x_{1}} sin(x_{2}) + 2cos(x_{2}) & -e^{x_{1}} cos(x_{2}) - 2x_{1} sin(x_{2}) & 0 \\ -2+2x_{3} & 0 & 2+2x_{1} }
[/mm]
Die Newton-Vorschrift sieht ja normaler Weise so aus:
[mm] x_{t+1} [/mm] = [mm] x_{t} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{t})}{f'(x_{t})}
[/mm]
Sieht dann "meine" Iteratiosvorschrift so aus:
[mm] x^{(t+1)} [/mm] = [mm] x^{(t)} [/mm] - [mm] \bruch{\Delta F(x^{(t)})}{\Delta F'(x^{(t)})} [/mm] ?
Stimmt das so?
Könnte da mal jemand drüber gucken?
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
> Stimmt das so?
ich denke: nein. Man benötigt für das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen eine Jacobi-Matrix (soweit mir bekannt ist).
Es ist dann
[mm]\Delta{x_n}=-(J(x_n))^{-1}*f(x_n)[/mm]
und die Iterationsvorschrift lautet dann
[mm] x_{n+1}=x_n+\Delta{x_n}
[/mm]
Gruß, Diophant
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> > Stimmt das so?
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> ich denke: nein. Man benötigt für das Newton-Verfahren im
> Mehrdimensionalen eine Jacobi-Matrix (soweit mir bekannt
> ist).
Aber das ist doch die Jacobimatrix, mein [mm] \Delta [/mm] F(x), oder nicht? so ist sie zumindest definiert!?
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> Es ist dann
>
> [mm]\Delta{x_n}=-(J(x_n))^{-1}*f(x_n)[/mm]
>
> und die Iterationsvorschrift lautet dann
>
> [mm]x_{n+1}=x_n+\Delta{x_n}[/mm]
ist das nicht genau das, was ich geschrieben habe, nur eben in 2 Gleichungen?
Denn meins ist ja [mm] x^{(t+1)} [/mm] = [mm] x^{(t)} [/mm] - [mm] \bruch{\Delta F(x^{(t)}}{\Delta F'(x^{(t)}}, [/mm] wobei der hintere Teil dein [mm] \Delta{x_n} [/mm] ist.
Oder?
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>
> Gruß, Diophant
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Halllo,
tut mir Leid: ich komme nicht mit bei deinem Vorhaben. Für mich steht da eine Division Vektor / Matrix; und so etwas habe ich noch nie gesehen. 
Kann es sein, dass du eine Schreibweise der Form [mm] A^{-1} [/mm] im Zusammenhang mit Matrizen falsch verstehst? Damit ist doch hier die Inverse der Jacobi-Matrix gemeint.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
autsch -.- ich sollte meine gedanken vllt auch mal zu ende denken...
Danke 
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