Nicht integrierbar? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Morizz |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{2x}{x^{3}+x^{2}} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin neu hier und möchte erst mal loswerden, wie gut mir dieses Forum gefällt und wieviele Möglichkeiten man hier mit dem Formeleditor usw. zu haben scheint ! :)
Nun zur eigentlichen Frage: Kann man die Stammfunktion, die ich suche, algebraisch bestimmen und wenn ja, wie lautet sie? Durch Substitution kommt man ja nicht weiter und auch partielle Integration geht wohl nicht, oder?
Gruß
Moritz
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Hallo Moritz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bevor es ans Integrieren geht, solltest Du zunächst kürzen und dann eine  Partialbruchzerlegung vornehmen:
[mm] $\bruch{2*x}{x^3+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*x}{x^2*(x+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x*(x+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+1}$
[/mm]
Anschließend ist das Integrieren schnell gemacht ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Morizz |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{2x}{x^{3}+x^{2}+1}dx} [/mm] |
Hi, danke für die schnelle Antwort! :) Ich sehe aber gerade, dass ich mich vertippt habe, im Zähler steht noch "+1".
Kann ich das Integral dann trotzdem lösen, wenn Kürzen nicht geht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Morizz |
Okay, ich hab das da mal eingegeben bei Wolfram Alpha und es kommt folgende Lösung raus:
http://www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP32111a573i7407b58f3h000050g87597g5a7i39a?MSPStoreType=image/gif&s=39&w=486&h=303
Ist das " i wurzel 3 " eine komplexe Zahl ? Ich würde sonst die Stammfunktion einfach mal gerundet für meine Lehrerin abschreiben^^
Gruß
Moritz
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Hallo nochmal,
> Okay, ich hab das da mal eingegeben bei Wolfram Alpha und
> es kommt folgende Lösung raus:
>
> http://www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP32111a573i7407b58f3h000050g87597g5a7i39a?MSPStoreType=image/gif&s=39&w=486&h=303
Der Link funktioniert nicht, aber ich habe ja vorhin nachgesehen, was rauskommt. 
> Ist das " i wurzel 3 " eine komplexe Zahl ?
So ist es!
> Ich würde
> sonst die Stammfunktion einfach mal gerundet für meine
> Lehrerin abschreiben^^
Gute Idee. 
Grüße
reverend
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Als Ergänzung zu der Antwort von Roadrunner sei noch folgender Sachverhalt angemerkt:
Für jede rationale Funktion existieren Stammfunktionen in geschlossener Form.
Das ist nicht so ganz leicht einzusehen, aber wenn du es als Hintergrundwissen hast, kann es nichts schaden. Damnach braucht man bei deiner obigen Frage nicht nachrechnen, um zu antworten, dass man das Integral rechnerisch lösen kann. Nur wenn man das dann konkret tun möchte, dann muss man nachrechnen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Morizz |
Uhh nein, ich meine schon den Nenner! :D Wie mancheiner eine Rechts-Links-Schwäche hat, so hab ich eine Zähler-Nenner-Schwäche :D
Die Aufgabe stand erst so da, dass man sie mit Substitution lösen konnte, dann hat meine Lehrerin einfach das [mm] x^3 [/mm] im Nenner davor geschrieben und meinte, dass könnte man jetzt nicht integrieren, so wie z.B. e ^ x ^ 2
Die Seite die du mir geschickt hast, ist ja schon mal vielversprechend! Nochmal danke für die schnelle Antwort :)
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Hallo Moritz,
> Die Aufgabe stand erst so da, dass man sie mit
> Substitution lösen konnte, dann hat meine Lehrerin einfach
> das [mm]x^3[/mm] im Nenner davor geschrieben und meinte, dass
> könnte man jetzt nicht integrieren, so wie z.B. e ^ x ^ 2
Da hat deine Lehrerin leider unrecht. Wie ich schon schrieb, lässt sich jede rationale Funktion in dem Sinne elementar integrieren, wie du das meinst (per geschlossener Stammfunktion). Das unbestimmte Integral besteht dabei aus Summanden, welche entweder auch wieder rational sind oder aus den transzendenten Funktionen ln (Logarithmus naturalis) und arctan (Arkustangens, die Umkehrfunktion der Tangensfunktion auf [mm] \left(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right)) [/mm] bestehen.
Nur, wie reverend schon schrieb: das ist teilweise alles andere als einfach, so wie hier mit dem [mm] x^3. [/mm] Aber prinzipiell geht es, und das ist wichtiug zu wissen!
EDIT: das ist in diesem Fall dermaßen schwierig, dass sogar immerhin mein Mathcad schlapp macht (wobei es bessere CAS-Systeme gibt).
> Die Seite die du mir geschickt hast, ist ja schon mal
> vielversprechend! Nochmal danke für die schnelle Antwort
> :)
Das war ebenfalls rev, aber er wird es lesen.
Gruß, Diophant
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