Nicht suffiziente Statistik < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] X_1,...,X_n [/mm] eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung
[mm] f_{\theta}= \bruch{x}{\theta} exp(-\bruch{x^2}{2\theta}) [/mm] falls x>0, sonst ist es null, [mm] \theta [/mm] >0
b) [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i [/mm] ist nicht suffizient für [mm] \theta [/mm] |
Hallo ^^
ich hab für die aufgabe zwar schon eine idee, aber die ist recht eklig geworden...
Meine Idee war zu zeigen, dass
[mm] P(X_1 \le [/mm] 1, [mm] X_2 \le [/mm] 1 | [mm] X_1+X_2 \le [/mm] 2) von [mm] \theta [/mm] abhängt, aber bei der Dichte von [mm] X_1+X_2 [/mm] hänge ich gerade beim rausintegrieren von einer Variablen (Transformationssatz) und hoffe einfach mal, dass es einen einfacheren Weg gibt das zu zeigen (Wolframalpha hat auch schon aufgegeben...)
Den Faktorisierungssatz kann man ja auch leider nicht anwenden, weil dies das ja auch nicht wirklich zeigt (bzw. wurde mir das in einer vorherigen aufgabe mal angestrichen, da man ja vielleicht doch noch eine darstellung der dichte finden könnte)
ich hoffe jemand kann mir einen tipp geben
habe bei der aufgabe a) auch gezeigt, dass [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i^2 [/mm] minimal suffizient ist... für den fall dass es weiter helfen würde...
miau
Katze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Sa 24.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ih habe leider keine Loesung anzubieten, aber ein Buch, wo du vielleicht Honig saugen kannst. Ich wette, du findest es in der Uni-Bibliothek.
Schau mal hier auf Seite 303:
@BOOK{Mood74,
title = {Introduction to the Theory of Statistics},
publisher = {Mc-Graw-Hill},
year = {1974},
author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
edition = {3. edition}
}
vg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Danke für deine Antwort, aber ich muss leider sagen, dass mich das nicht weiterbring...
wie ich das sehe machen die dort das ähnliche wie ich und einige "clearly" finde ich nicht so klar...
vielleicht kann mir ja einer helfen meine funktion zu integrieren, oder sie ähnelt einer bekannten Verteilung und ich sehs einfach nicht
mit [mm] Z_1= X_1+X_2 [/mm]
[mm] f_{z_1}(z_1) =\bruch{1}{\theta ^2} \integral_{0}^{\infty}(z_1z_2-z_2^2)exp(\bruch{-z_1^2+2z_1z_2-2z_2^2}{2\theta})dz_2
[/mm]
substitution hab ich schon versucht... bin gescheitert
LG
Katze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 24.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> vielleicht kann mir ja einer helfen meine funktion zu
> integrieren, oder sie ähnelt einer bekannten Verteilung
> und ich sehs einfach nicht
>
> mit [mm]Z_1= X_1+X_2[/mm]
> [mm]f_{z_1}(z_1) =\bruch{1}{\theta ^2} \integral_{0}^{\infty}(z_1z_2-z_2^2)exp(\bruch{-z_1^2+2z_1z_2-2z_2^2}{2\theta})dz_2[/mm]
>
Moin,
gemaess der Formel auf Seite 186 des besagten Buches finde *ich* fuer [mm] $z_1>0$
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
f_{Z_1}(z_1)&=&\int_{-\infty}^{+\infty}f_\theta(z_1-z_2)f_\theta(z_2)\,dz_2
\\
&=&\int_{0}^{+\infty}\frac{z_1-z_2}{\theta}\exp[(z_1-z_2)^2/2\theta]]\exp[z_2^2/2\theta]\,dz_2
\\
&=&\frac{1}{\theta^2}\int_{0}^{+\infty}z_2(z_1-z_2)\exp[-\frac{(z_2-z_1)-z_2^2}{2\theta}]\,dz_2
\end{matrix}
[/mm]
Das ist fast das, was du auch schon gefunden hast, aber nicht ganz. Ich vermute einen Vorzeichenfehler.
BTW, die Grundgesamtheit ist Weibull-verteilt.
vg Luis
PS: Leider habe ich hier falsch gerechnet. Ich lasse den Beitrag aber mal unkorrigiert zur besseren Nachvollziehbarkeit. Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Katze_91 |
hm erinnert mich stark an Faltung, welche ich sogar in meinem Skript gesucht habe, aber nciht mehr gefunden...
aber ich glaube eigentlich, dass meine formel stimmt
weil die dichte in unserem fall ja für x <0 auch null ist, oder sehe ich das falsch?
dann ist doch gerade
[mm] f_{Z_1}(z_1)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_\theta(z_1-z_2)f_\theta(z_2)\,dz_2= \int_{0}^{+\infty}f_\theta(z_1-z_2)f_\theta(z_2)\,dz_2
[/mm]
und das ist doch wenn ich das einsetze
[mm] \frac{1}{\theta^2}\int_{0}^{+\infty}z_2(z_1-z_2)\exp[-\frac{(z_2-z_1)^2-z_2^2}{2\theta}]\,dz_2
[/mm]
ich weiß nicht woher die 2 im Nenner herkommt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 24.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> hm erinnert mich stark an Faltung,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> welche ich sogar in
> meinem Skript gesucht habe, aber nciht mehr gefunden...
>
> aber ich glaube eigentlich, dass meine formel stimmt
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Aber bei dir trat oben [mm] $z_1^2$ [/mm] und [mm] $z_2^2$ [/mm] auf, was dann unten nicht mehr der Fall ist, denn
[mm] $(z_2-z_1)^2-z_2^2=-2z_1z_2+z_1^2$
[/mm]
> weil die dichte in unserem fall ja für x <0 auch null
> ist, oder sehe ich das falsch?
> dann ist doch gerade
>
> [mm]f_{Z_1}(z_1)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_\theta(z_1-z_2)f_\theta(z_2)\,dz_2= \int_{0}^{+\infty}f_\theta(z_1-z_2)f_\theta(z_2)\,dz_2[/mm]
>
> und das ist doch wenn ich das einsetze
>
> [mm]\frac{1}{\theta^2}\int_{0}^{+\infty}z_2(z_1-z_2)\exp[-\frac{(z_2-z_1)^2-z_2^2}{2\theta}]\,dz_2[/mm]
>
> ich weiß nicht woher die 2 im Nenner herkommt....
Stimmt, die gehoert da nicht hin. Hab's flugs korrigiert.
Aber jetzt sind wir wohl auf demselben Stand.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Katze_91 |
> Aber bei dir trat oben [mm]z_1^2[/mm] und [mm]z_2^2[/mm] auf, was
> dann unten nicht mehr der Fall ist, denn
>
> [mm](z_2-z_1)^2-z_2^2=-2z_1z_2+z_1^2[/mm]
ja schon aber wir haben doch noch aus der dichte ein minus da stehen oder?
also
[mm] -(z_2-z_1)^2-z_2^2=-2z_2^2+2z_1z_2-z_1^2
[/mm]
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:11 Sa 24.11.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> ja schon aber wir haben doch noch aus der dichte ein minus
> da stehen oder?
> also
> [mm]-(z_2-z_1)^2-z_2^2=-2z_2^2+2z_1z_2-z_1^2[/mm]
Ich rechne so:
$-[ [mm] (z_2-z_1)^2-z_2^2]=-z_2^2+2z_1z_2-z_1^2+z_2^2=2z_1z_2-z_1^2$
[/mm]
(Das Minuszeichen steht vor dem Bruch.)
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Sa 24.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
entschuldige, meine Beitraege waren nicht sehr hilfreich. *Deine* Formel stimmt.
vg Luis
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hm, wenigstens konnte ich den trafosatz richtig anwenden, auch mal wieder was geübt...
aber mit der weibullverteilung hat es dann auch nciths mehr zu tun oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 26.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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