Nichtabelsch mit Ordnung 12 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $G$ eine nichtabelsche Gruppe mit Ordnung 12 für welche ein Element [mm] $\sigma\in [/mm] G$ mit [mm] $\text{ord }\sigma=4$ [/mm] existiert und [mm] $n_3=1$ [/mm] gilt, wobei [mm] $n_p$ [/mm] die Anzahl der $p$-Sylowgruppen von $G$ bezeichne.
(1) Bestimmen Sie ein solches $G$ in der Form [mm] $\langle\sigma,\tau [/mm] : [mm] \cdots\rangle$
[/mm]
(2) Bestimmen Sie $G$ als Untergruppe von $S_12$, indem Sie [mm] $\sigma,\tau$ [/mm] als konkrete Elemente von $S_12$ angeben. |
Also, ich habe mir überlegt, dass für [mm] $|G|=12=2^2\cdot [/mm] 3$ ganz allgemein [mm] $n_2\in\left\{1,3\right\}$ [/mm] und [mm] $n_3\in\left\{1,4\right\}$ [/mm] gilt. Ferner lässt sich zeigen, dass $G$ auflösbar ist, da $G$ mindestens eine normale $p$-Sylowgruppe enthält, d.h. [mm] $n_2=1$ [/mm] oder [mm] $n_3=1$ [/mm] gilt (folgt aus [mm] $n_2=1$ [/mm] direkt [mm] $n_3=4$ [/mm] und aus [mm] $n_3=1$ [/mm] direkt [mm] $n_2=3$?).
[/mm]
Wir betrachten in dieser Aufgabe den Fall [mm] $n_3=1$, [/mm] d.h. es gibt genau eine $3$-Sylowgruppe und diese ist normal. Die Elemente der $2$-Sylowgruppe(n) haben Ordnung [mm] $2^2=4$; [/mm] also liegt dieses [mm] $\sigma$ [/mm] in einer der $2$-Sylowgruppen.
Bezeichne nun [mm] $\text{Syl }_3\text{ G}$ [/mm] die einzige $3$-Sylowgruppe von $G$. Da alles $p$-Sylowgruppen für ein festes $p$ konjugiert sind, erzeugt ein einziges Element aus [mm] $\text{Syl }_3\text{ G}$ [/mm] ganz [mm] $\text{Syl }_3\text{ G}$.
[/mm]
Für (a) würde ich also die Wahl [mm] $\tau\in \text{Syl }_3\text{ G}$ [/mm] beliebig vorschlagen. Welche Bedingung man ggf. noch an [mm] $\sigma$ [/mm] stellen müsste, um [mm] $G=\langle\sigma,\tau [/mm] : [mm] \tau\in \text{Syl }_3\text{ G}\wedge\cdots\rangle$ [/mm] zu erreichen, bin ich mir nicht sicher. Da bräuchte ich eure Hilfe.
Ich bin mir ohnehin nicht sicher, ob ich ganz allgemein für ein solches Szenario dieses Erzeugendensystem bestimmen soll oder ob ich mir ein beliebiges solche $G$ ausdenken "darf".
Bei (2) muss ich leider passen; da kommt mir keine gute Idee für die Wahl von [mm] $\sigma$ [/mm] und/oder [mm] $\tau$.
[/mm]
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Gruß
Differential
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Do 23.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]G[/mm] eine nichtabelsche Gruppe mit Ordnung 12 für welche
> ein Element [mm]\sigma\in G[/mm] mit [mm]\text{ord }\sigma=4[/mm] existiert
> und [mm]n_3=1[/mm] gilt, wobei [mm]n_p[/mm] die Anzahl der [mm]p[/mm]-Sylowgruppen von
> [mm]G[/mm] bezeichne.
>
> (1) Bestimmen Sie ein solches [mm]G[/mm] in der Form
> [mm]\langle\sigma,\tau : \cdots\rangle[/mm]
> (2) Bestimmen Sie [mm]G[/mm] als
> Untergruppe von [mm]S_12[/mm], indem Sie [mm]\sigma,\tau[/mm] als konkrete
> Elemente von [mm]S_12[/mm] angeben.
>
> Also, ich habe mir überlegt, dass für [mm]|G|=12=2^2\cdot 3[/mm]
> ganz allgemein [mm]n_2\in\left\{1,3\right\}[/mm] und
> [mm]n_3\in\left\{1,4\right\}[/mm] gilt. Ferner lässt sich zeigen,
> dass [mm]G[/mm] auflösbar ist, da [mm]G[/mm] mindestens eine normale
> [mm]p[/mm]-Sylowgruppe enthält, d.h. [mm]n_2=1[/mm] oder [mm]n_3=1[/mm] gilt (folgt
> aus [mm]n_2=1[/mm] direkt [mm]n_3=4[/mm] und aus [mm]n_3=1[/mm] direkt [mm]n_2=3[/mm]?).
>
> Wir betrachten in dieser Aufgabe den Fall [mm]n_3=1[/mm], d.h. es
> gibt genau eine [mm]3[/mm]-Sylowgruppe und diese ist normal. Die
> Elemente der [mm]2[/mm]-Sylowgruppe(n) haben Ordnung [mm]2^2=4[/mm]; also
> liegt dieses [mm]\sigma[/mm] in einer der [mm]2[/mm]-Sylowgruppen.
>
> Bezeichne nun [mm]\text{Syl }_3\text{ G}[/mm] die einzige
> [mm]3[/mm]-Sylowgruppe von [mm]G[/mm].
Unueblich, aber warum nicht.
> Da alles [mm]p[/mm]-Sylowgruppen für ein
> festes [mm]p[/mm] konjugiert sind, erzeugt ein einziges Element aus
> [mm]\text{Syl }_3\text{ G}[/mm] ganz [mm]\text{Syl }_3\text{ G}[/mm].
Hier stolperts Du ueber Deine eigene Bezeichnung: Nach Deiner Definition ist [mm] $Syl_{3}(G)$ [/mm] eine Gruppe, und nicht wie ueblich die Menge der $3$-Sylowgruppen, und somit waere [mm] $\tau$ [/mm] ein Gruppenelement und keine $3$-Sylowgruppe. Der Satz von Sylow besagt keineswegs, dass $G$ transitiv auf den Elementen eine $p$-Sylowgruppe ist.
>
> Für (a) würde ich also die Wahl [mm]\tau\in \text{Syl }_3\text{ G}[/mm]
> beliebig vorschlagen.
Das ist auf jeden Fall falsch: Denn steht jetzt [mm] $\tau$ [/mm] fuer eine beliebige $3$-Sylowgruppe, dann solltest Du doch ein Gruppenelement [mm] $\tau\in [/mm] G$ angeben; ist [mm] $\tau$ [/mm] ein beliebiges Element der $3$-Sylowgruppe, gilt nicht unbedingt $G= [mm] <\sigma, \tau>$ [/mm]
> Welche Bedingung man ggf. noch an
> [mm]\sigma[/mm] stellen müsste, um [mm]G=\langle\sigma,\tau : \tau\in \text{Syl }_3\text{ G}\wedge\cdots\rangle[/mm]
> zu erreichen, bin ich mir nicht sicher. Da bräuchte ich
> eure Hilfe.
Welche Struktur haben die $2$- bzw-$3$-Sylowgruppen (Anzahl der Erzeuger...)? Es genuegt wohl, dass Du Dir ueberlegst, was z.B. [mm] $\sigma^{\tau}$ [/mm] ist. Weise vor allen Dingen ersteinmal nach, dass $G$ tatsaechlich von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] erzeugt wird.
>
> Ich bin mir ohnehin nicht sicher, ob ich ganz allgemein
> für ein solches Szenario dieses Erzeugendensystem
> bestimmen soll oder ob ich mir ein beliebiges solche [mm]G[/mm]
> ausdenken "darf".
>
> Bei (2) muss ich leider passen; da kommt mir keine gute
> Idee für die Wahl von [mm]\sigma[/mm] und/oder [mm]\tau[/mm].
Als $12$-elementige Gruppe operiert $G$ auf sich selber durch Rechtsmultiplikation; damit kann $G$ als Untergruppe der [mm] $S_{12}$ [/mm] dargestellt werden. Numeriere die Elemente von $G$ irgendwie durch und finde heraus, wie diese Numerierung durch [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] permutiert werden.
>
> Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> Gruß
> Differential
|
|
|
| |
|
Hallo hippias,
du hast recht, wir bezeichnen die einzige $3$-Sylowgruppe liber mit [mm] $P_3$. [/mm] Es sind dennoch alle $p$-Sylowgruppen für ein festes $p$ konjugiert. Die Operation von $G$ auf der Menge der $3$-Sylowgruppen [mm] $\text{Syl}_3\text{ }G$ [/mm] erfolgt durch Konjugation und ist aufgrund des vorherigen Satzes daher transitiv; dies ist hier natürlich trivial, da [mm] $\text{Syl}_3\text{ }G$ [/mm] sowieso nur ein Element hat.
Es gibt dann drei $2$-Sylowgruppen, die [mm] $3\cdot [/mm] (4-1)=9$ vom neutralen Element verschiedene Elemente haben. Es bleiben also noch $2$-Elemente übrig, die in keiner der $2$-Sylowgruppen liegen. Also hat [mm] $P_3$ [/mm] genau $3$ Elemente.
Jetzt bin ich mir unsicher: Die Ordnung von [mm] $P_3$ [/mm] müsste $3$ sein, während die Ordnung der $2$-Sylowgruppen jeweils $4$ sein müsste. Kann aber nicht sein, denn die Ordnungszahlen müssen sich zu $12$ summieren (wo ist da mein Logikfehler?).
Klar ist, haben die $2$-Sylowgruppen die Ordnung [mm] $4=2^2$, [/mm] so sind diese abelsch. Ebenfalls klar ist, dass $G$ auflösbar ist, da $|G|$ von der Form $p^2q$ mit Primzahlen $p$ und $q$ ist.
Ich denke, ich weiß also schon so einiges darüber, wie $G$ aussieht. Dennoch gelingt es mir nicht zwei solche Erzeuger zu finden :(
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Do 23.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias,
>
> du hast recht, wir bezeichnen die einzige [mm]3[/mm]-Sylowgruppe
> liber mit [mm]P_3[/mm]. Es sind dennoch alle [mm]p[/mm]-Sylowgruppen für ein
> festes [mm]p[/mm] konjugiert. Die Operation von [mm]G[/mm] auf der Menge der
> [mm]3[/mm]-Sylowgruppen [mm]\text{Syl}_3\text{ }G[/mm] erfolgt durch
> Konjugation und ist aufgrund des vorherigen Satzes daher
> transitiv; dies ist hier natürlich trivial, da
> [mm]\text{Syl}_3\text{ }G[/mm] sowieso nur ein Element hat.
Eben.
>
> Es gibt dann drei [mm]2[/mm]-Sylowgruppen, die [mm]3\cdot (4-1)=9[/mm] vom
> neutralen Element verschiedene Elemente haben. Es bleiben
> also noch [mm]2[/mm]-Elemente übrig, die in keiner der
> [mm]2[/mm]-Sylowgruppen liegen. Also hat [mm]P_3[/mm] genau [mm]3[/mm] Elemente.
Das ist doch klar wegen $|G|= [mm] 4\cdot [/mm] 3$.
>
> Jetzt bin ich mir unsicher: Die Ordnung von [mm]P_3[/mm] müsste [mm]3[/mm]
> sein, während die Ordnung der [mm]2[/mm]-Sylowgruppen jeweils [mm]4[/mm]
> sein müsste. Kann aber nicht sein, denn die Ordnungszahlen
> müssen sich zu [mm]12[/mm] summieren (wo ist da mein
> Logikfehler?).
Produkt!
>
> Klar ist, haben die [mm]2[/mm]-Sylowgruppen die Ordnung [mm]4=2^2[/mm], so
> sind diese abelsch.
Schau auf die Voraussetzung: Wieviele Erzeuger hat [mm] $P_{2}$? [/mm] Wieviele [mm] $P_{3}$? [/mm] Welche Ordnung hat [mm] $ (=P_2P_{3})$?
[/mm]
> Ebenfalls klar ist, dass [mm]G[/mm] auflösbar
> ist, da [mm]|G|[/mm] von der Form [mm]p^2q[/mm] mit Primzahlen [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] ist.
>
> Ich denke, ich weiß also schon so einiges darüber, wie [mm]G[/mm]
> aussieht. Dennoch gelingt es mir nicht zwei solche Erzeuger
> zu finden :(
>
> Gruß
> Differential
|
|
|
| |
|
Hm, wenn du schon [mm] $G=P_2P_3$ [/mm] andeutest, gehe ich mal davon aus, dass du denkst, dass es auch nur eine $2$-Sylowgruppe gibt und dass dann $G$ das direkte Produkt der beiden Sylowgruppen ist, richtig?
[mm] $P_3$ [/mm] ist zyklisch, hat also nur einen einzigen Erzeuger. Über die Erzeuger von [mm] $P_2$ [/mm] kann >>ich<< keine Aussage machen, da ich mir immer noch nicht sicher bin, wie viele $2$-Sylowgruppen es denn gibt (eine oder zwei) und welche Ordnung diese haben.
Kannst du mir da nochmal auf die Sprünge helfen?
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
Nein, es gibt mehrere 2-Sylow-Gruppen. Dies erkennst du daran, dass sonst dein Schluss richtig wäre - $G$ wäre das direkte Produkt von [mm] $P_3$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] und somit abelsch. Da $G$ als nichtabelsch vorausgesetzt ist, muss es mehrere geben. Die Ordnung der 2-Sylow-Gruppe ist klar (wie ist Sylow-Gruppe definiert?).
Zum allgemeineren Fahrplan: Du weißt, dass du ein Element der Ordnung 3 hast und eines der Ordnung 4. Was weißt du über den Durchschnitt der erzeugten Untergruppen von diesen beiden? Was über die von ihnen gemeinsam erzeugte Gruppe? Was über nichttriviale Normalteiler der Gruppe? Was über semidirekte Produkte? Was folgt daraus über die Präsentation der Gruppe?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Hallo UniversellesObjekt,
die $2$-Sylowgruppen haben Ordnung $4$. Ich habe mich da irritieren lassen.
Es gibt also eine $3$-Sylowgruppe [mm] $P_3$ [/mm] und zwei $2$-Sylowgruppen [mm] $P_{21}$ [/mm] und [mm] $P_{22$}.
[/mm]
(1) Der Durchschnitt einer $p$- und einer $q$-Sylowgruppe ist trivial, falls [mm] $p\ne [/mm] q$. Also ist [mm] $P_3\cap P_{2k}=\left\{1\right\}$.
[/mm]
(2) Wenn [mm] $|P_3|=3$ [/mm] und [mm] $|P_{2k}|=4$ [/mm] gilt, so muss aufgrund von [mm] $|G|=12=|P_{3}|\cdot |P_{2k}|$ [/mm] und (1) auch [mm] $G=P_{3}\cdot P_{2k}$ [/mm] gelten.
(3) Aufgrund von [mm] $n_3=1$ [/mm] und [mm] $|P_{3}|=3$ [/mm] ist durch [mm] $P_3$ [/mm] ein nichttrivialer Normalteiler von $G$ gegeben.
(4) Über semidirekte Produkte weiß ich ehrlich gesagt ziemlich wenig; im konkreten Fall gar nichts.
(5) Was folgt daraus über die Präsentation der Gruppe? Da wären wir wieder beim Zusammensetzen der Bausteine ... :(
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
Eine Gruppe $G$ ist genau dann semidirektes Produkt eines Normalteiler $N$ und einer Untergruppe $H$, [mm] $G=N\rtimes [/mm] H$, wenn $G=NH$ und [mm] $N\cap [/mm] H=1$.
In diesem Fall ist ein Homomorphismus gegeben [mm] $\psi\colon H\longrightarrow\operatorname{Aut}(N)$, $h\longmapsto \psi_h$, [/mm] wobei [mm] $\psi_h$ [/mm] Konjugation mit $h$ ist.
Dies sind nur zwei ganz elementare Fakten zum semidirekten Produkt. Gilt [mm] $H=\langle X\mid R\rangle$, $N=\langle Y\mid S\rangle, [/mm] so ist [mm] $N\rtimes_\psi H=\langle X,Y\mid [/mm] R, S, [mm] hnh^{-1}=\psi_h(n)\text{ für alle } h\in X,n\in Y\rangle$. [/mm] Der Beweis ist nicht schwer und schafft sicherlich mehr Klarheit, als das rechnen im Konkreten Fall.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Jetzt erinnere ich mich wieder. Das habe ich erst vor kurzem sogar mal beweisen müssen; war mir aber spontan entfallen.
Den zweiten Teil verstehe ich aber ehrlich gesagt schon allein von der Notation her nicht (was sind z.B. $R$ und $S$? Beliebige Eigenschaften?).
Um dies mal aufzugreifen: Wenn wir eine beliebige Gruppe $G$ und [mm] $N_1,N_2\unlhd [/mm] G$ mit [mm] $N_1\cap N_2=\left\{1\right\}$ [/mm] und [mm] $G=N_1N_2$ [/mm] haben, so gilt [mm] $G\cong N_1\times N_2$. [/mm] Ist dies der richtige Ansatz? Wir haben aber doch nur einen Normalteiler (die $3$-Sylowgruppe).
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
> Jetzt erinnere ich mich wieder. Das habe ich erst vor
> kurzem sogar mal beweisen müssen; war mir aber spontan
> entfallen.
>
> Den zweiten Teil verstehe ich aber ehrlich gesagt schon
> allein von der Notation her nicht (was sind z.B. [mm]R[/mm] und [mm]S[/mm]?
> Beliebige Eigenschaften?).
Ja. Genauer gilt: Es sei $X$ eine Menge, $F(X)$ die freie Gruppe über $X$. $R$ sei eine Teilmenge von $F (X)$ und [mm] $\langle\langle R\rangle\rangle$ [/mm] der erzeugte Normalteiler in $F(X)$. Dann ist [mm] $\langle X\mid R\rangle$ [/mm] definiert durch [mm] $F(X)/\langle\langle R\rangle\rangle$. [/mm] Hierbei heißt $R$ eine "Relation". Etwas wie [mm] $hnh^{-1}=\psi_h(n)$ [/mm] ist ersteinmal keine Relation, damit ist aber das Element [mm] $hnh^{-1}\psi_h(n)^{-1}$ [/mm] gemeint, welches also 1 ergeben soll.
[mm] $\langle X\mid R\rangle$ [/mm] ist bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt durch die folgende universelle Eigenschaft: Ist [mm] $f\colon X\longrightarrow [/mm] G$ eine Abbildung in eine Gruppe mit $f(x)=1$ für alle [mm] $x\in [/mm] R$, so existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus [mm] $g\colon\langle X\mid R\rangle\longrightarrow [/mm] G$ mit [mm] $g\circ [/mm] h=f$, wobei $h$ die offensichtliche Abbildung [mm] $X\to\langle X\mid R\rangle$ [/mm] ist.
(Dies erkennt man ein als eine Anwendung der universellen Eigenschaften des Quotienten und der freien Gruppe.)
> Um dies mal aufzugreifen: Wenn wir eine beliebige Gruppe [mm]G[/mm]
> und [mm]N_1,N_2\unlhd G[/mm] mit [mm]N_1\cap N_2=\left\{1\right\}[/mm] und
> [mm]G=N_1N_2[/mm] haben, so gilt [mm]G\cong N_1\times N_2[/mm]. Ist dies der
> richtige Ansatz? Wir haben aber doch nur einen Normalteiler
> (die [mm]3[/mm]-Sylowgruppe).
Genau, deswegen handelt es sich um ein semidirektes Produkt, kein direktes. Du solltest dir nun überlegen, wie du ein semidirektes Produkt unserer Gruppen hinbekommst, welches nur die 3-Sylow-Gruppe als Normalteiler hat (bzw. äquivalent dazu nicht-abelsch ist).
> Gruß
> Differential
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Naja, dass müssten wir doch fast schon haben, oder? Wir haben bereits:
(1) [mm] $G=P_3\cdot P_{2k}$, [/mm] wegen [mm] $|G|=|P_3|\cdot |P_{2k}|$ [/mm] und [mm] $P_3\cap P_{2k}=\left{1\right\}$.
[/mm]
(2) [mm] $P_3\unlhd [/mm] G$
Jetzt brauchen wir doch nur noch erzeuger finden, oder? Jetzt muss ich mal ganz kur an die eigentliche Aufgabe zurück erinnern: [mm] $\sigma\in [/mm] G$ mit [mm] $\text{ord }\sigma [/mm] =4$ soll enthalten sein. Offensichtlich ist [mm] $\sigma\in P_{2k}$ [/mm] für mindestens ein [mm] $k\in\left\{1,2\right\}$.
[/mm]
Erzeugt dieses die $2$-Sylowgruppe, in der sie enthalten ist? Definitiv ja, würde ich sagen. Denn Sylowgruppen sind maximale $p$-Gruppen.
Jetzt fehlt nur noch ein [mm] $\tau\in P_3$ [/mm] und es bleibt die Frage offen, welche Bedingung wir an dieses [mm] $\tau$ [/mm] stellen müssen. Außer [mm] $\tau\ne [/mm] 1$ fällt mir da spontan nichts ein, denn auch [mm] $\tau$ [/mm] erzeugt seine ganze $3$-Sylowgruppe.
Ist davon irgendetwas halbrichtig?
Falls ja, wie gehe ich für die zweite Aufgabe vor? Ich bin nicht der größte Fan der symmetrischen Gruppe ;) Ich vermute, dass irgendwie die [mm] $A_4$ [/mm] mit im Spiel ist.
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 23.01.2014 | | Autor: | hippias |
Das genuegt doch: [mm] $<\sigma, \tau>$ [/mm] enthaelt eine $2$- und eine $3$-Sylowgruppe, mithin hat diese Untergruppe die gleiche Ordnung wie $G$. Fazit: $G= [mm] <\sigma, \tau>$. [/mm] Aufloesbarkeit etc. wird dafuer ueberhapt nicht benoetigt.
Da [mm] $<\tau>$ [/mm] normal in $G$ ist, kannst Du Dich jetzt noch fragen, welchen Automorphismus ein Element der Ordnung $4$ darauf induzieren kann bzw. welche Automorphismen mit $2$-Potenzordnung eine zyklische Gruppe der Ordnung $3$ uebehaupt besitzt (nicht viele).
|
|
|
| |
|
> Da [mm]<\tau>[/mm] normal in [mm]G[/mm] ist, kannst Du Dich jetzt noch
> fragen, welchen Automorphismus ein Element der Ordnung [mm]4[/mm]
> darauf induzieren kann bzw. welche Automorphismen mit
> [mm]2[/mm]-Potenzordnung eine zyklische Gruppe der Ordnung [mm]3[/mm]
> uebehaupt besitzt (nicht viele).
Das musst du sogar, um die (1) zu lösen.
|
|
|
| |
|
Ich fasse zusammen: [mm] $\sigma$ [/mm] ist vorgegeben und liegt in [mm] $P_{2k}$. [/mm] Sei nun [mm] $\tau\in P_3$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $P_3$. [/mm] Es gibt zwei Automorphismen von [mm] $P_3$: [/mm] Die identische Abbildung und den Automorphismus der [mm] $\tau$ [/mm] und [mm] $\tau^2$ [/mm] vertauscht.
[mm] $P_{2k}$ [/mm] ist zyklisch mit Ordnung $4$. [mm] $\sigma$ [/mm] erzeugt also [mm] $P_{2k}$. [/mm] Da $G$ nichtabelsch ist, gilt [mm] $\sigma\tau\ne\tau\sigma$; [/mm] daher kann die Konjugation unter [mm] $\sigma$ [/mm] nicht die identische Abbildung sein. Es gilt also [mm] $\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^2$.
[/mm]
Damit sollte [mm] $G=\langle\sigma,\tau [/mm] : [mm] \sigma\in P_{2k}\wedge \tau\in P_3\wedge \sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^2\rangle$ [/mm] gelten, nicht wahr?
Wie sieht es jetzt für die (2) aus. Wie finde ich diese Elemente?
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
Hi,
es sollte $ [mm] G=\langle \sigma,\tau\mid\sigma^4=1,\tau^3=1,\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^2\rangle [/mm] $ heißen (es ist $ [mm] C_n=\langle a\mid a^n=1\rangle [/mm] $).
Zur (2): Jede Gruppe operiert effektiv auf die der Gruppe zu Grunde liegende Menge durch Translation.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Was ist [mm] $C_n$ [/mm] und was bedeutet "operiert durch Translation" in diesem Zusammenhang? Die zugrunde gelegte Menge ist für uns jetzt genau welche? Vorher haben wir die Operation von [mm] $P_{2k}$ [/mm] auf [mm] $P_3$ [/mm] betrachtet; tuen wir dies nun immer noch?
Ich muss, wenn ich die Aufgabenstellung korrekt interpretiere, doch einfach nur ein ganz konkretes [mm] $(\sigma,\tau)$-Paar [/mm] aus der $S_12$ bestimmen. Und an dieses [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] gelten die Bedingungen die wir uns vorhin überlegt haben; mehr steckt da nicht hinter, oder?
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
$ [mm] C_n [/mm] $ ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $ n $. Ich wollte nur erklären, wie es zu den Relationen [mm] $\sigma^4=1$ [/mm] und [mm] $\tau^3=1$ [/mm] kommt.
Du sollst $ G $ als Untergruppe von $ [mm] S_{12} [/mm] $ auffassen. Dies entspricht einer Einbettung $ [mm] G\longrightarrow S_{12}$ [/mm] und dies entspricht einer effektiven Operation von $ G$ auf eine 12-elementige Menge. Eine solche ist z.B. durch die Menge von $ G $ gegeben. Als Verknüpfung der Operation kann man die Gruppenverknüpfung wählen. Diese Operation nennt man Translation.
Auf diese Weise findest du passende Elemente ganz ohne nachdenken.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Die Gruppenoperation ist die Konjugation, richtig?
Ich muss nochmal kurz nachfragen: Niemand von euch beiden hat bisher bemängelt, dass ich von zwei $2$-Sylowgruppen gesprochen habe; wenn aber [mm] $n_2\ne [/mm] 1$ gilt, dann muss aufgrund der Vorüberlegungen [mm] $n_2=3$ [/mm] gelten; es gibt also drei $2$-Sylowgruppen.
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Fr 24.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Die Gruppenoperation ist die Konjugation, richtig?
Das geht hier auch mit der Konjugation. Die Operation durch Multiplikation funktioniert bei diesem Einbettungen aber immer (siehe Satz von Cayley); ich meine die Operation von $G$ auf $G$ gegeben durch [mm] $x^{g}:= [/mm] xg$ (Rechtsmultiplikation). Da Du ja schon einiges ueber $G$ weisst, waere die Einbettung ueber die Konjugationsoperation sicher schoener; aber ich kann nicht sagen, welche Art und Weise hier gemeint ist.
>
> Ich muss nochmal kurz nachfragen: Niemand von euch beiden
> hat bisher bemängelt, dass ich von zwei [mm]2[/mm]-Sylowgruppen
> gesprochen habe; wenn aber [mm]n_2\ne 1[/mm] gilt, dann muss
> aufgrund der Vorüberlegungen [mm]n_2=3[/mm] gelten; es gibt also
> drei [mm]2[/mm]-Sylowgruppen.
Richtig.
>
> Gruß
> Differential
|
|
|
| |
|
Ich verstehe es einfach nicht, wie ich [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] als Elemente von $S_12$ bestimme. Ich habe mir ![[]](/images/popup.gif) diesen Wikipedia-Artikel durchgelesen; dass ist doch genau das, was ihr meint, oder?
Damit kann ich leider nicht viel anfangen. Wenn ich jetzt mal wieder konkret an unsere in (1) gewonnene Form von $G$ denke, dann würde ich wie folgt vorgehen:
(a) Bestimme [mm] $\sigma\in [/mm] S_12$ mit [mm] $\sigma^4=1$
[/mm]
(b) Bestimme [mm] $\tau\in [/mm] S_12$ mit [mm] $\tau^3=1$
[/mm]
(c) Für (a) und (b) erhalte ich wahrscheinlich jeweils mehr als ein Element. Eindeutig wird die Geschichte wohl durch [mm] $\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^2$
[/mm]
Problem dabei: Die $S_12$ hat ziemlich viele Elemente. Ich finde kein Prinzip um [mm] $\sigma^4=1$ [/mm] zu finden.
Ihr habt schon vorgeschlagen, die Elemente in $G$ zu nummerieren und zu prüfen, wie [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] durch Rechtsmultiplikation auf andere Elemente wirken. Wie wirkt denn aber z.B. [mm] $\sigma$? [/mm] Alles was ich weiß, ist doch [mm] $\text{ord }\sigma [/mm] =4$ ...
Bitte gebt mir da mal einen konkreteren Tipp; ich verstehe es auch nach langem Nachdenken nicht ...
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
Hi Differential,
Also der Weg, sich einfach nach passenden Elementen umzusehen, ist vielleicht möglich, aber ich würde es so nicht hingekommen, weil ich (so wie du es auch angedeutet hast) kein großer Freund vom rechnen mit Permutationen bin. Deswegen meine Antwort im Wesentlichen nur zum zweiten Teil deiner Frage.
Zunächst einmal: Wir wissen sehr viel mehr als nur die Ordnungen der Elemente. Wir wissen: Jedes Element von $ G $ lässt sich auf eindeutige Weise schreiben als $ ab $ mit [mm] $a\in\langle\tau\rangle [/mm] $ und $ [mm] b\in\langle\sigma\rangle [/mm] $.
Wir können nun eine Operation von $ G $ auf $ U (G)\ $ betrachten, wobei $ U (G)\ $ die unterliegende Menge ist. Dabei ist z.B. Translation möglich; für jede Gruppe liefert die eine effektive Operation auf die unterliegende Menge. Ich führe dir Translation mit [mm] $\sigma [/mm] $ an ein paar Beispielen vor:
[mm] $\sigma*\sigma^2=\sigma^3$
[/mm]
[mm] $\sigma*\tau=\sigma*\tau\sigma^{-1}\sigma=\tau^2\sigma [/mm] $
[mm] $\sigma*\tau^2\sigma=\sigma*\tau\sigma^{-1}\sigma\tau\sigma^{-1}\sigma^2=\tau^4\sigma^2=\tau\sigma^2$.
[/mm]
So müsstest du eben alle 12 Elemente durchgehen. Translation mit [mm] $\tau [/mm] $ ist hingegen sehr viel einfacher. Und dann identifizierst du die Elemente mit den Zahlen von 1 bis 12 und kriegst deine Permutation geliefert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Ich danke Euch beiden schon mal für die sehr guten Erklärungen bis hier hin. Doch ich muss leider noch eine weitere Frage stellen:
(i) UniversellesObjekt, ich verstehe deine Korrektur meiner Darstellung von $G$ im Beitrag von (22:19 Do 23.01.2014) nicht. Du forderst dort lediglich [mm] $\sigma^4=1$ [/mm] und [mm] $\tau^3=1$; [/mm] Während aus [mm] $\text{ord }\sigma [/mm] =4$ wirklich [mm] $\sigma^4=1$ [/mm] folgt, folgt aus [mm] $\sigma^4=1$ [/mm] doch noch lange nicht [mm] $\text{ord }\sigma=4$. [/mm] Deine Bedingungen würden beispielsweise auch für [mm] $\sigma=\tau=1$ [/mm] gelten.
Vielleicht kommt die Verwirrung aber auch daher, dass ich mir nicht 100% sicher bin, was die [mm] $\langle \cdots\rangle$, [/mm] also diese Spitzenklammern, hier zu bedeuten haben. Ich kenne diese Schreibweise für die Lineare Hülle (den Spann) in Vektorräumen. Dort ist z.B. [mm] $\langle \alpha,\beta\rangle :=\mathbb{K}\alpha +\mathbb{K}\beta$. [/mm] Wenn dem hier auch so ist, dann würde [mm] $G=\langle 1\rangle$ [/mm] und damit auch deine Korrektur für mich Sinn ergeben.
(2) Es tut mir leid, wenn ich mich ausgesprochen blöd anstelle. Aber so richtig verstanden, was du in deinem letzten Beitrag mit
> dann identifizierst du die Elemente mit den Zahlen von 1
> bis 12 und kriegst deine Permutation geliefert.
meinst, habe ich immer noch nicht.
Wir nummerieren unser $G$ von $1$ bis $12$ durch, d.h.: [mm] $G=\left\{1,\cdots,12\right\}$, [/mm] wobei [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] zwei (verschiedene) dieser Elemente sind. Jetzt sprichst du von "Translation mit [mm] $\sigma$". [/mm] $G$ soll doch auf sich selbst operieren, d.h. die Gruppenoperation ist eine binäre Verknüpfung [mm] $G\times G\to [/mm] G, [mm] (g,h)\mapsto [/mm] gh$. Jetzt fixieren wir ein Element, in deinem Fall [mm] $\sigma$ [/mm] und induzieren damit eine unäre Verknüpfung [mm] $G\to [/mm] G, [mm] g\mapsto \sigma [/mm] g$.
Vielleicht drücke ich mich da jetzt etwas umständlich aus, aber ich muss erst mal verstehen, was hier passiert.
Jetzt hast du weiter gsagt, dass ich diese unäre Verknüpfung für alle Gruppenelemente [mm] $1,\cdots,12$ [/mm] ausführen soll ... Da verstehe ich schon mal nicht, was du bisher gezeigt hast. Du hast die Verknüpfung mit [mm] $\sigma^2$, $\tau$ [/mm] und [mm] $\tau^2\sigma$ [/mm] ausgeführt; wie jetzt weiter?
Wofür muss ich die Elemente überhaupt durchnummerieren? Es ist doch so: Durch [mm] $1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\tau^2,\sigma\tau,\sigma\tau^2,\sigma^2\tau,\sigma^2\tau^2,\sigma^3,\tau,\sigma^3\tau$ [/mm] sind alle Gruppenelemente dargstellt. Ist es jetzt genau das, was du meinst? Soll ich diesen Produkten Zahlen zuordnen und schauen, wie diese durch [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] permutiert werden?
Falls ja, wie schließe ich davon auf Permutationsdarstellungen von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] und wie spielt die zusätzliche Bedingung [mm] $\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^2$ [/mm] mit rein?
Vielen lieben Dank vorab für Eure Mühen; ich hoffe die Frage ist nicht zu lang geworden ;)
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
> Ich danke Euch beiden schon mal für die sehr guten
> Erklärungen bis hier hin. Doch ich muss leider noch eine
> weitere Frage stellen:
>
> (i) UniversellesObjekt, ich verstehe deine Korrektur meiner
> Darstellung von [mm]G[/mm] im Beitrag von (22:19 Do 23.01.2014)
> nicht. Du forderst dort lediglich [mm]\sigma^4=1[/mm] und [mm]\tau^3=1[/mm];
> Während aus [mm]\text{ord }\sigma =4[/mm] wirklich [mm]\sigma^4=1[/mm]
> folgt, folgt aus [mm]\sigma^4=1[/mm] doch noch lange nicht [mm]\text{ord }\sigma=4[/mm].
> Deine Bedingungen würden beispielsweise auch für
> [mm]\sigma=\tau=1[/mm] gelten.
Was du dort geschrieben hattest war sinnlos (im Sinne mathematischer Nicht-Definiertheit). Bei der Präsentation einer Gruppe geht es darum, dass gewisse Relationen zwischen Erzeugern gefordert werden, du hattest dort etwas stehen, wie [mm] $\tau\in P_3$. [/mm] Dies ist keine Relation im Sinne der Präsentation einer Gruppe.
> Vielleicht kommt die Verwirrung aber auch daher, dass ich
> mir nicht 100% sicher bin, was die [mm]\langle \cdots\rangle[/mm],
> also diese Spitzenklammern, hier zu bedeuten haben. Ich
> kenne diese Schreibweise für die Lineare Hülle (den
> Spann) in Vektorräumen. Dort ist z.B. [mm]\langle \alpha,\beta\rangle :=\mathbb{K}\alpha +\mathbb{K}\beta[/mm].
> Wenn dem hier auch so ist, dann würde [mm]G=\langle 1\rangle[/mm]
> und damit auch deine Korrektur für mich Sinn ergeben.
Das Gefühl habe ich auch. Für die Lösung der Aufgabe ist es natürlich denkbar ungeeignet, wenn man diese Definitionen noch nicht völlig verinnerlicht hat. Sieh unbedingt noch einmal in deinem Buch/Skript nach, was du zum Thema Präsentation einer Gruppe finden kannst. Weiter oben hatte ich auch schon eine Definition der Schreibweise gegeben, allerdings ohne Erklärungen, welche bei diesem sehr (!) wichtigen Konzept sicherlich nützen. Es würde allerdings auch den Rahmen dieser Frage hier sprengen.
> (2) Es tut mir leid, wenn ich mich ausgesprochen blöd
> anstelle. Aber so richtig verstanden, was du in deinem
> letzten Beitrag mit
> > dann identifizierst du die Elemente mit den Zahlen von 1
> > bis 12 und kriegst deine Permutation geliefert.
> meinst, habe ich immer noch nicht.
>
> Wir nummerieren unser [mm]G[/mm] von [mm]1[/mm] bis [mm]12[/mm] durch, d.h.:
> [mm]G=\left\{1,\cdots,12\right\}[/mm], wobei [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] zwei
> (verschiedene) dieser Elemente sind. Jetzt sprichst du von
> "Translation mit [mm]\sigma[/mm]". [mm]G[/mm] soll doch auf sich selbst
> operieren, d.h. die Gruppenoperation ist eine binäre
> Verknüpfung [mm]G\times G\to G, (g,h)\mapsto gh[/mm].
Ja, wobei ich ein strenger Verfechter davon bin, unbedingt zwischen Gruppe und unterliegender Menge zu unterscheiden; vielleicht weil ich von der Kategorientheorie vorgezeichnet bin (die unterliegende Menge ist dort das Bild unter dem Vergissfunktor [mm] $\mathbf{Grp}\longrightarrow\mathbf{Set}$ [/mm] und als Objekt einer anderen Kategorie natürlich unbedingt von der Gruppe zu unterscheiden; insbesondere handelt es sich hier um eine Operation auf eine Menge, nicht um die Operation auf eine Gruppe), aber auch in allen anderen Bereichen ist es nützlich, sich gedanklich und am besten auch was die Schreibweisen angeht, klarzumachen, als was man das Objekt gerade betrachtet.
> Jetzt fixieren wir ein Element, in deinem Fall [mm]\sigma[/mm] und
> induzieren damit eine unäre Verknüpfung [mm]G\to G, g\mapsto \sigma g[/mm].
Ganz genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielleicht drücke ich mich da jetzt etwas umständlich
> aus, aber ich muss erst mal verstehen, was hier passiert.
>
> Jetzt hast du weiter gsagt, dass ich diese unäre
> Verknüpfung für alle Gruppenelemente [mm]1,\cdots,12[/mm]
> ausführen soll ... Da verstehe ich schon mal nicht, was du
> bisher gezeigt hast. Du hast die Verknüpfung mit [mm]\sigma^2[/mm],
> [mm]\tau[/mm] und [mm]\tau^2\sigma[/mm] ausgeführt; wie jetzt weiter?
>
> Wofür muss ich die Elemente überhaupt durchnummerieren?
> Es ist doch so: Durch
> [mm]1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\tau^2,\sigma\tau,\sigma\tau^2,\sigma^2\tau,\sigma^2\tau^2,\sigma^3,\tau,\sigma^3\tau[/mm]
> sind alle Gruppenelemente dargstellt. Ist es jetzt genau
> das, was du meinst? Soll ich diesen Produkten Zahlen
> zuordnen und schauen, wie diese durch [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm]
> permutiert werden?
Ja
> Falls ja, wie schließe ich davon auf
> Permutationsdarstellungen von [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm]
Eine Permutation ist ja nur eine Abbildung. Die Permutationsdarstellung von [mm] $\sigma$ [/mm] ist gegeben durch die Abbildung [mm] $\{1,\dots,12\}\longrightarrow\{1,\dots,12\}$ [/mm] mit [mm] $x\longmapsto\sigma\cdot [/mm] x$.
> und wie
> spielt die zusätzliche Bedingung
> [mm]\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^2[/mm] mit rein?
Diese brauchst du, um zu erkennen, welches deiner obigen zwölf Elemente herauskommt nach Multiplikation von Links mit [mm] $\sigma$ [/mm] bzw. [mm] $\tau$.
[/mm]
> Vielen lieben Dank vorab für Eure Mühen; ich hoffe die
> Frage ist nicht zu lang geworden ;)
Bei Punkt (2) scheinst du alles richtig verstanden zu haben; beschäftige dich am Besten nochmal mit dem semidirekten Produkt. Am besten überlegst du dir danach zur Übung mal, weshalb [mm] $N\rtimes_\psi H=\langle X,Y\mid [/mm] R, S, [mm] hnh^{-1}=\psi_h(n)\text{ für alle } h\in X,n\in Y\rangle$.
[/mm]
> Gruß
> Differential
|
|
|
| |
|
> Sieh unbedingt noch einmal in deinem Buch/Skript nach, was du
> zum Thema
> Präsentation einer Gruppe
> finden kannst.
Ich kann in meinem Vorlesungsskript das Wort "Präsentation" überhaupt nicht finden. Ich habe nach dem ersten Vorkommen von [mm] $\langle\cdots\rangle$ [/mm] gesucht. Es fällt in einem Beispiel vom Himmel.
> Weiter oben hatte ich auch schon eine
> Definition der Schreibweise gegeben, allerdings ohne
> Erklärungen, welche bei diesem sehr (!) wichtigen Konzept
> sicherlich nützen.
Meinst du den Beitrag (18:12 Do 23.01.2014)? Ich verstehe deine Erläuterungen dort leider nicht. Könntest du sie mir anhand des konkreten Beispiels erklären? Kann ich es mir so wie bei einer Linearen Hülle vorstellen?
Gruß
Differential
EDIT: Bzgl. des Nummerierens der Elemente von $G$ und der Betrachtung der Wirkung von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$: [/mm] Wie schreibt man das denn formal auf? "Wir nummerieren die Elemente von $G$ wie folgt durch: [mm] $G=\left{1,\cdots,12\right\}=\left\{1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\tau^2,\sigma\tau,\sigma\tau^2,\sigma^2\tau,\sigma^2\tau^2,\sigma^3,\tau,\sigma^3\tau\right\}$"; [/mm] geht das so? ;)
|
|
|
| |
|
> > Sieh unbedingt noch einmal in deinem Buch/Skript nach, was
> du
> > zum Thema
> >
> Präsentation einer Gruppe
> > finden kannst.
> Ich kann in meinem Vorlesungsskript das Wort
> "Präsentation" überhaupt nicht finden. Ich habe nach dem
> ersten Vorkommen von [mm]\langle\cdots\rangle[/mm] gesucht. Es
> fällt in einem Beispiel vom Himmel.
Ich zeige als Beispiel, dass, für eine Operation [mm] $\psi\colo\langle X\mid R\rangle\longrightarrow\operatorname{Aut}\langle Y\mid S\rangle$ [/mm] das semidirekte Produkt die Präsentation [mm] $\langle X,Y\mid R,S,yxy^{-1}=\psi_h(x)\forall x\in X,y\in Y\rangle$ [/mm] besitzt.
Nach Definition des semidirekten Produkts ist zunächst klar, dass es tatsächlich durch die Einbettungen von $X$ und $Y$ erzeugt ist und dass die angegebenen Relationen alle richtig sind. Es sei $G$ eine weitere Gruppe über Erzeugerns aus $X$ und $Y$, in denen die Relationen gelten. - Das heißt präzise: Es existiert eine Abbildung [mm] $f\colon F(X\sqcup Y)\longrightarrow [/mm] G$ mit [mm] $f(R),f(S),f(\{yxy^{-1}\psi(x)\mid x\in X,y\in Y\})\subseteq [/mm] 1$. Jedes Element im semidirekten Produkt kann auf eindeutige Weise geschrieben werden als $nh$ mit [mm] $n\in\langle X\mid R\rangle$ [/mm] und [mm] $h\in\langle Y\mid S\rangle$. [/mm] Die Abbildung $f$ aus dem semidirekten Produkt nach $G$ mit [mm] $nh\longmapsto [/mm] f(n)f(h)$ ist aus diesem Grund wohldefiniert. Die Homomorphieeigenschaft rechnet man schnell nach. Außerdem ist es der einzige, welcher Elemente aus $X,Y$ auf die durch $f$ damit identifizierten Elemente in $G$ schickt; es genügt dies für das Erzeugendystem nachzuweisen, und dies ist trivial.
Überlege dir als Übung mal [mm] $C_n=\langle a\mid a^n=1\rangle$. [/mm] Dies ist viel einfacher, als das semidirekte Produkt und fördert das Verständnis. Außerdem hast du dann die nötigen Ergebnisse, um die Präsentation unserer Gruppe hier anzugeben.
> > Weiter oben hatte ich auch schon eine
> > Definition der Schreibweise gegeben, allerdings ohne
> > Erklärungen, welche bei diesem sehr (!) wichtigen Konzept
> > sicherlich nützen.
> Meinst du den Beitrag (18:12 Do 23.01.2014)? Ich verstehe
> deine Erläuterungen dort leider nicht. Könntest du sie
> mir anhand des konkreten Beispiels erklären? Kann ich es
> mir so wie bei einer Linearen Hülle vorstellen?
Ja, diesen meine ich. Ich habe mich in obigem Beispiel darauf bezogen. Das mit der linearen Hülle ist verwandt. Ihr habt sicher über erzeugte Untergruppen gesprochen. Es gilt nach Definition [mm] $\langle X\mid R\rangle =\langle X\rangle$ [/mm] - das heißt die Gruppe wird durch $X$ erzeugt. Aber es ist eben noch mehr. Es ist die Gruppe, welche durch $X$ erzeugt wird, und in der neben $R$ keine Relationen gelten. Lies dir vielleicht auch mal die deutsche Wikipedia durch. Der Artikel ist recht elementar aber erklärt vielleicht auch manches nochmal.
> Gruß
> Differential
>
> EDIT: Bzgl. des Nummerierens der Elemente von [mm]G[/mm] und der
> Betrachtung der Wirkung von [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm]: Wie schreibt
> man das denn formal auf? "Wir nummerieren die Elemente von
> [mm]G[/mm] wie folgt durch:
> [mm]G=\left{1,\cdots,12\right\}=\left\{1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\tau^2,\sigma\tau,\sigma\tau^2,\sigma^2\tau,\sigma^2\tau^2,\sigma^3,\tau,\sigma^3\tau\right\}[/mm]";
> geht das so? ;)
Kannst du aus [mm] $\{a,b\}=\{x,y\}$ [/mm] folgern, dass $a=x$? Ich jedenfalls nicht. Aber aus $(a,b)=(x,y)$ kann ich es folgern 
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Sa 25.01.2014 | | Autor: | hippias |
Die Einbettung laesst sich bei diesem Beispiel NICHT ueber die Konjugationsoperation bewerkstelligen, da der Kern der Operation ($=Z(G)$) $>1$ ist. Nimm also die Rechtsoperation.
|
|
|
|
