Nichtexistenz Grenzwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 So 14.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0} sin(\bruch{1}{x}) [/mm] nicht existiert. |
Hallo,
de l'Hospital kann ich hier ja nicht anwenden, oder? Kann ich sagen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=-\bruch{1}{x^2}cos(\bruch{1}{x}) [/mm] nicht existiert und dann auf f(x) schließen? Mir fällt sonst kein richtiger Beweis ein.
Wie immer vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wähle 2 Nullfolgen die du einsetzt mit verschiedenem ergebnis etwa 0, 1 oder -1
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 So 14.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Hallo
> wähle 2 Nullfolgen die du einsetzt mit verschiedenem
> ergebnis etwa 0, 1 oder -1
du meinst, ich soll die Funktion quasi einschnüren von beiden Seiten? Aber wie?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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Schau Dir mal eine allgemeine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von 0 an. Wenn nötig, kannst du dann noch [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow 0}\ [/mm] betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 14.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Schau Dir mal eine allgemeine [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von 0
> an. Wenn nötig, kannst du dann noch
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow 0}\[/mm] betrachten.
ok, diese Funktion pendelt irgendwie im Intervall (-1,1), aber wie zeige ich nun mittels [mm] \varepsilon-Umgebung, [/mm] dass es keinen eindeutigen Grenzwert gibt, sondern der Wert alterniert für Werte um 0.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 14.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Schau Dir mal eine allgemeine [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von 0
> > an. Wenn nötig, kannst du dann noch
> > [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow 0}\[/mm] betrachten.
>
> ok, diese Funktion pendelt irgendwie im Intervall (-1,1),
> aber wie zeige ich nun mittels [mm]\varepsilon-Umgebung,[/mm] dass
> es keinen eindeutigen Grenzwert gibt, sondern der Wert
> alterniert für Werte um 0.
Das hat leduart dir doch gesagt: schau dir zwei Folgen an, die gegen 0 gehen, und die eingesetzt in die Funktion verschiedene Grenzwerte liefern.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 14.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Das hat leduart dir doch gesagt: schau dir zwei Folgen an,
> die gegen 0 gehen, und die eingesetzt in die Funktion
> verschiedene Grenzwerte liefern.
ok, aber dann kann ich doch direkt die Folge 1/n nehmen, die konvergiert gegen 0, wenn ich die nun in [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] einsetze, dann erhalte ich keinen eindeutigen Grenzwert, eben weil die Sinus-Funktion ja zwischen 1 und -1 schwingt, gibt es eben keinen Grenzwert, aber ist das auch ein Beweis?
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> > Das hat leduart dir doch gesagt: schau dir zwei Folgen
> an,
> > die gegen 0 gehen, und die eingesetzt in die Funktion
> > verschiedene Grenzwerte liefern.
> ok, aber dann kann ich doch direkt die Folge 1/n nehmen,
> die konvergiert gegen 0, wenn ich die nun in
> [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] einsetze, dann erhalte ich keinen
> eindeutigen Grenzwert, eben weil die Sinus-Funktion ja
> zwischen 1 und -1 schwingt, gibt es eben keinen Grenzwert,
> aber ist das auch ein Beweis?
>
Hallo,
mich überzeugt es nicht. Könnte es nicht sein, daß die Folge sin(n) vielleicht doch konvergiert? Vielleicht gegen 0.73995?
Du mußt bei der Auswahl der Folgen (es war ja auch von zweien die Rede) raffinierter vorgehen.
Wähle die Folgen so, daß [mm] sin(\bruch{1}{x_n} [/mm] ) jeweils konstant ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 14.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Du mußt bei der Auswahl der Folgen (es war ja auch von
> zweien die Rede) raffinierter vorgehen.
wie ist es denn mit [mm] a_n=\bruch{2}{(2n+1)\pi}, [/mm] mit n gerade und [mm] b_n=\bruch{2}{(2n+1)\pi} [/mm] mit n ungerade. Beide Folgen konvergieren gegen 0, und [mm] sin(\bruch{1}{a_n}) [/mm] und [mm] sin(\bruch{1}{b_n}) [/mm] konvergieren beide gegen unterschiedliche Grenzwerte. Könnte man so vorgehen?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> > Du mußt bei der Auswahl der Folgen (es war ja auch von
> > zweien die Rede) raffinierter vorgehen.
> wie ist es denn mit [mm]a_n=\bruch{2}{(2n+1)\pi},[/mm] mit n gerade
> und [mm]b_n=\bruch{2}{(2n+1)\pi}[/mm] mit n ungerade. Beide Folgen
> konvergieren gegen 0, und [mm]sin(\bruch{1}{a_n})[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{1}{b_n})[/mm] konvergieren beide gegen
> unterschiedliche Grenzwerte. Könnte man so vorgehen?
Hallo,
ja, so kannst Du das machen, aber schreibe die Folgen so auf, daß gerade und ungerade eingebaut ist, man also bei beiden Folgen jede natürliche Zahl einsetzen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mo 15.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> ja, so kannst Du das machen, aber schreibe die Folgen so
> auf, daß gerade und ungerade eingebaut ist, man also bei
> beiden Folgen jede natürliche Zahl einsetzen kann.
ok, dann schreibe ich es nochmal sauber hin:
Sei [mm] a_n=\bruch{2}{(4n+1)\pi} [/mm] mit n [mm] \in \IN_0 [/mm] und [mm] b_n=\bruch{2}{(4n-1)\pi} [/mm] mit n [mm] \in \IN.
[/mm]
Die beiden Folgen konvergieren für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] gegen 0.
Allerdings konvergieren [mm] sin(\bruch{1}{a_n}) [/mm] und [mm] sin(\bruch{1}{b_n}) [/mm] nicht. Wie muss ich den Grenzwert nun hinschreiben? Es ist ja die Nullfolge mit n [mm] \rightarrow \infty, [/mm] aber sin sollte ja x [mm] \rightarrow [/mm] 0 sein, oder? Wie schreibe ich das nun sauber auf?
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> Sei [mm]a_n=\bruch{2}{(4n+1)\pi}[/mm] mit n [mm]\in \IN_0[/mm] und
> [mm]b_n=\bruch{2}{(4n-1)\pi}[/mm] mit n [mm]\in \IN.[/mm]
> Die beiden Folgen
> konvergieren für n [mm]\rightarrow \infty[/mm] gegen 0.
Hallo,
genau.
> Allerdings konvergieren [mm]sin(\bruch{1}{a_n})[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{1}{b_n})[/mm] nicht.
Das stimmt nicht. Du hast doch [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] extra so ausgesucht, daß [mm]sin(\bruch{1}{a_n})[/mm] und [mm]sin(\bruch{1}{b_n})[/mm] konvergieren.
> Wie muss ich den Grenzwert nun
> hinschreiben? Es ist ja die Nullfolge mit n [mm]\rightarrow \infty,[/mm]
> aber sin sollte ja x [mm]\rightarrow[/mm] 0 sein, oder? Wie schreibe
> ich das nun sauber auf?
Zuerst gehe noch mal in Dich, was Du tun willst:
Du willst zeigen, daß die Funktion [mm] f(x):=sin(\bruch{1}{x}) [/mm] an der Stelle x=0 keinen Grenzwert hat.
Dazu zeigst Du, daß nicht für alle Folgen [mm] x_n\to [/mm] 0 die Folgen der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] gegen einen gemeinsamen Wert konvergieren.
Du hast nun zwei Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] definiert, die beide gegen 0 konvergieren.
Es ist aber [mm] \lim_{n\to \infty}f(a_n)=1 [/mm] und [mm] \lim_{n\to \infty}f(b_n)=-1.
[/mm]
Also hat f an der Stelle 0 keinen Grenzwert. (Denn sonst für müßten alle Folgen mit [mm] x_n\to [/mm] 0 die Folgen [mm] f(x_n) [/mm] gegen einen gemeinsamen Wert konvergieren.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mo 15.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Du hast nun zwei Folgen [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] definiert, die beide
> gegen 0 konvergieren.
>
> Es ist aber [mm]\lim_{n\to \infty}f(a_n)=1[/mm] und [mm]\lim_{n\to \infty}f(b_n)=-1.[/mm]
>
> Also hat f an der Stelle 0 keinen Grenzwert. (Denn sonst
> für müßten alle Folgen mit [mm]x_n\to[/mm] 0 die Folgen [mm]f(x_n)[/mm] gegen
> einen gemeinsamen Wert konvergieren.)
ja, ok, jetzt leuchtet mir das ein, ich steckte nur fest, weil ja einmal x [mm] \rightarrow [/mm] 0 und einmal n [mm] \rightarrow \infty. [/mm] Aber das bezog sich ja einmal auf x und einmal auf n.
Danke schön, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
such erstmal ne Folge von sin Werten, die immer 1 sind. dann such ne entsprechende Nullfolge. usw. Natürlich solltest du nicht irgend ne dumme Nullfolge nehmen sondern ne geschickte!
Gruss leduart
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