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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Do 21.10.2010 | | Autor: | PLM |
Liebe MatheRaum-Community,
Ich bin auf der Suche nach der analytischen Lösung eines nicht linearen Gleichungssystems mit 16 Gleichungen (und glücklicherweise 16 Unbekannten).
Diese sind:
[mm] \lambda_{O}*c_{1} [/mm] + [mm] v_{1} [/mm] + [mm] p_{O}*l_{1} [/mm] + [mm] r_{O}*h_{1} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{O}*c_{2} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] + [mm] p_{O}*l_{2} [/mm] + [mm] r_{O}*h_{2} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{O}*c_{3} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] + [mm] p_{O}*l_{3} [/mm] + [mm] r_{O}*h_{3} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{X}*c_{1} [/mm] + [mm] v_{1} [/mm] + [mm] p_{X}*l_{1} [/mm] + [mm] r_{X}*h_{1} [/mm] == [mm] \lambda_{X},
[/mm]
[mm] \lambda_{X}*c_{2} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] + [mm] p_{X}*l_{2} [/mm] + [mm] r_{X}*h_{2} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{X}*c_{3} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] + [mm] p_{X}*l_{3} [/mm] + [mm] r_{X}*h_{3} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{Y}*c_{1} [/mm] + [mm] v_{1} [/mm] + [mm] p_{Y}*l_{1} [/mm] + [mm] r_{Y}*h_{1} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{Y}*c_{2} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] + [mm] p_{Y}*l_{2} [/mm] + [mm] r_{Y}*h_{2} [/mm] == [mm] \lambda_{Y},
[/mm]
[mm] \lambda_{Y}*c_{3} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] + [mm] p_{Y}*l_{3} [/mm] + [mm] r_{Y}*h_{3} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{Z}*c_{1} [/mm] + [mm] v_{1} [/mm] + [mm] p_{Z}*l_{1} [/mm] + [mm] r_{Z}*h_{1} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{Z}*c_{2} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] + [mm] p_{Z}*l_{2} [/mm] + [mm] r_{Z}*h_{2} [/mm] == 0,
[mm] \lambda_{Z}*c_{3} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] + [mm] p_{Z}*l_{3} [/mm] + [mm] r_{Z}*h_{3} [/mm] == [mm] \lambda_{Z},
[/mm]
[mm] l_{1} [/mm] == [mm] h_{2}*v_{3} [/mm] - [mm] h_{3}*v_{2},
[/mm]
[mm] l_{2} [/mm] == [mm] h_{3}*v_{1} [/mm] - [mm] h_{1}*v_{3},
[/mm]
[mm] l_{3} [/mm] == [mm] h_{1}*v_{2} [/mm] - [mm] h_{2}*v_{1},
[/mm]
[mm] h_{1}*v_{1} [/mm] + [mm] h_{2}*v_{2} [/mm] + [mm] h_{3}*v_{3} [/mm] == 0
Dabei sind [mm] p_{O}, r_{O}, p_{X}, r_{X}, p_{Y}, r_{Y}, p_{Z} [/mm] und [mm] r_{Z} [/mm] bekannte Werte,
die restlichen 16 sind unbekannt.
Natürlich könnte man jetzt versuchen, die einzelnen Werte zu eliminieren, aber dabei ist die Wahrscheinlichkeit sich zu verrechnen viel zu groß.
Ich habe versucht das System von Mathematica lösen zu lassen, hab das aber aufgegeben, als Mathematica nach 2 Stunden immer noch keine Lösung gefunden hatte.
Was ich daher gerne wissen würde:
Wie sollte man am besten Vorgehen, um eine analytische Lösung für dieses Gleichungssystem zu finden?
Es ist ja leider wegen der unbekannten [mm] \lambda_{i}-Werte [/mm] nicht linear.
Vielen Dank für eure Antworten!
LG Michi
Hintergrund:
Diesem Gleichungssystem liegt ursprünglich das folgende Vektorgleichungssystem zugrunde:
[mm] \lambda_{O}* [/mm] c + v + [mm] p_{O}* [/mm] l + [mm] r_{O}* [/mm] h == 0,
[mm] \lambda_{X}* [/mm] c + v + [mm] p_{X}* [/mm] l + [mm] r_{X}* [/mm] h == [mm] \lambda_{X}*(1,0,0)^{T},
[/mm]
[mm] \lambda_{Y}* [/mm] c + v + [mm] p_{Y}* [/mm] l + [mm] r_{Y}* [/mm] h == [mm] \lambda_{Y}*(0,1,0)^{T},
[/mm]
[mm] \lambda_{Z}* [/mm] c + v + [mm] p_{Z}* [/mm] l + [mm] r_{Z}* [/mm] h == [mm] \lambda_{Z}*(0,0,1)^{T},
[/mm]
l == h [mm] \times [/mm] v, -> Kreuzprodukt
h*v == 0 -> Skalarprodukt
Dieses beschreibt die Beziehung zwischen der Position von 4 Punkten in einem 3-dimensionalen Raum, (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1), und deren Koordinaten auf einer 2-dimensionalen Abbildung.
Die Abbildung entsteht durch einen Ray-Tracing-Algorithmus, wobei c die Position des Beobachters, v seine normierte Blickrichtung, h der relativ zum Beobachter nach "oben" zeigende Einheitsvektor und l der relativ zum Beobachter nach "links" zeigende Einheitsvektor.
Diesem Problem liegt die Überlegung zugrunde, dass es möglich sein müsste, anhand der Koordinaten der 4 Punkte (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) auf der 2-dimensionalen Abbildung (wobei p die jeweils horizontale Koordinate, r die jeweils vertikale Koordinate beschreibt) die genaue Lage und Ausrichtung des Beobachters zu bestimmen, also anhand einer gerenderten Szene, in der diese 4 Punkte sichtbar sind, auf die Position des Beobachters zu schließen.
Offenbar ist das auch möglich, schließlich besitzt das Gleichungssystem 16 Gleichungen und 16 Unbekannte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo PLM, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist ja mal 'ne steile Frage zum Einstieg in ein Forum... 
Du hast wohl Recht, dass Position und Blickrichtung eines Beobachters im ray tracing-Verfahren aus den gegebenen Informationen reproduzierbar sein müssten.
Dass die Zahl der Gleichungen so groß ist wie die Zahl der Variablen, ist dafür allerdings noch nicht hinreichend, sondern nur notwendig.
In jedem Fall muss Dir bekannt sein, welcher Bildpunkt welches Original abbildet, sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.
Mir scheint es wesentlich sinnvoller, die Vektorengleichungen nicht koordinatenweise aufzustellen, sondern die Aufgabe komplett mit den Mitteln der Vektoranalysis anzugehen.
Trotzdem sind mir ein paar Dinge noch nicht klar:
1) Sind [mm] \vec{h} [/mm] und [mm] \vec{l} [/mm] (zusammen mit [mm] \ved{v} [/mm] natürlich) nur die Beschreibung der Orientierung des Beobachters?
2) Welches ist die Bildebene?
3) Wie sind die [mm] \lambda_i, p_i [/mm] und [mm] r_i [/mm] definiert bzw. wovon hängen sie ab?
Und schließlich: was weißt Du über Vektor- und Matrizenrechnung? War das schon Vorlesungsthema, also lineare Algebra über das Schulniveau hinaus?
Grüße
reverend
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