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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:33 Do 29.12.2011 | | Autor: | conman |
Hallo,
ich habe ein nichtlineares, konvexes Optimierungsproblem
[mm]
F(x) \to min,
[/mm]
mit [mm]
F: [0,1]^n \to [0,1],
[/mm]
mit den Constraints
[mm]
\summe x_i = 1
[/mm]
und
[mm]
0 \le x_i \le 1
[/mm]
Meine erste Frage:
Da F konvex ist, sollte ein x, dass F(x) minimiert, auch ein globales Minimum sein. Kann es dennoch sein, dass mehrere x dieses Minimum realisieren?
Frage 2:
Sollte es so sein, dass es mehrere Lösungen geben könnte, würde ich gerne unter diesen Lösungen diejenigen Lösungen finden, für die
[mm]
\sum x_i
[/mm]
minimal ist.
Kann ich in dem Fall einfach die obige Optimierung hinsichtlich
[mm]
F'(x) = F(x) + \sum x_i \to min
[/mm]
durchführen und erhalte in jedem Fall eine (oder auch mehrere) Lösungen, die zum einen F minimieren, und die dann zusätzlich die Summe über die [mm] x_i [/mm] minimieren?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:29 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo,
>
> ich habe ein nichtlineares, konvexes Optimierungsproblem
>
> [mm]
F(x) \to min,
[/mm]
>
> mit [mm]
F: [0,1]^n \to [0,1],
[/mm]
>
> mit den Constraints
>
> [mm]
\summe x_i = 1
[/mm]
> .
> .
> .
> Frage 2:
>
> Sollte es so sein, dass es mehrere Lösungen geben könnte,
> würde ich gerne unter diesen Lösungen diejenigen
> Lösungen finden, für die
>
> [mm]
\sum x_i
[/mm]
>
> minimal ist.
Meinst Du was anderes? Du betrachtest nämlich doch eh alle $x [mm] \in [0,1]^n$ [/mm] mit [mm] $\sum x_i=1=const\,.$ [/mm] Selbst, wenn es mehrere Lösungen gibt, ändert Deine letzte Forderung nichts, da alle die [mm] $x\,,$ [/mm] die das [mm] $F\,$ [/mm] minimieren, ja auch die Nebenbedingung
[mm] $$\sum x_i=1=const$$
[/mm]
erfüllen (und [mm] $1\,$ [/mm] dann natürlich der Minimalwert - und auch Maximalwert - dieser Summe ist - denn andere Summenwerte läßt Du wegen der Constraints ja gar nicht zu!).
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> ich habe ein nichtlineares, konvexes Optimierungsproblem
>
> [mm]
F(x) \to min,
[/mm]
>
> mit [mm]
F: [0,1]^n \to [0,1],
[/mm]
>
> mit den Constraints
>
> [mm]
\summe x_i = 1
[/mm]
>
> und
>
> [mm]
0 \le x_i \le 1
[/mm]
>
> Meine erste Frage:
>
> Da F konvex ist, sollte ein x, dass F(x) minimiert, auch
> ein globales Minimum sein. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wenn ein x den Funktionswert F(x) minimiert, ist nicht
dieser x-Wert das Minimum, sondern eben F(x).
> Kann es dennoch sein, dass
> mehrere x dieses Minimum realisieren?
Ja, zum Beispiel dann, wenn die Funktion F stückweise
konstant ist. Innerhalb eines solchen Bereiches ist dann
zwar die Funktion nicht mehr "echt nichtlinear" ...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 02.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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