Niemytzki-Raum regulär? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:03 So 20.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich suche einen Beweis für das Resultat, dass der Niemytzki-Raum regulär [mm] (T_3 [/mm] + [mm] T_1) [/mm] ist. In meinen alten Skript ist es nur ohne Beweis vermerkt.
In Wiki hab ich dazu nur den Beriff vollst. regulär gefunden, denn wir aber nicht wirklich hatten.
Sei [mm] X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0 \}
[/mm]
Wir geben für jedes p=(a,b) [mm] \in [/mm] X eine Umgebungsbasis an:
b>0: [mm] \mathcal{W}_p [/mm] := [mm] \{ B_{\epsilon} (p): 0 < \epsilon \le y\}
[/mm]
b=0: [mm] \mathcal{W}_p [/mm] := [mm] \{ C_{\epsilon} (p): \epsilon>0 \}
[/mm]
wobei [mm] C_{\epsilon} [/mm] (p) [mm] =\{q=(x,y) \in X| d(m,q) < \epsilon\} \cup \{(a,0)\} [/mm] mit [mm] m=(a,\epsilon)
[/mm]
Die entstehende Topologie heißt Niemytzki-Topologie. |
Hallo
[mm] T_1 [/mm] : [mm] \forall x\not= [/mm] y [mm] \in \mathbb{R}: \exists [/mm] U, V offen: x [mm] \in [/mm] U, y [mm] \not\in [/mm] U , [mm] y\in [/mm] V, x [mm] \not\in [/mm] V
Sei x [mm] \not= [/mm] y [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
[mm] x=(x_1, x_2), y=(y_1, y_2)
[/mm]
1) Angenommen [mm] x_2, y_2> [/mm] 0
[mm] \epsilon:= \frac{d(x,y)}{3}, U=B_{\epsilon} [/mm] (x), [mm] V=B_{\epsilon} [/mm] (y)
So ist U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm] da für z [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V gilt 3 [mm] \epsilon= [/mm] d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) < 2 [mm] \epsilon [/mm] Widerspruch
Eine Umgebungsbasis ist insbesondere eine Umgebung und enthält jeweils eine offene Menge die x bzw. y enthält.
Aus [mm] T_2 [/mm] folgt [mm] T_1.
[/mm]
2) Ang [mm] x_2, y_2 [/mm] =0
[mm] \epsilon:= \frac{d(x,y)}{3}
[/mm]
[mm] U:=\{B_{\epsilon}(x_1, \epsilon))\} \cup\{(x_1, 0)\}
[/mm]
[mm] V:=\{B_{\epsilon}(y_1, \epsilon))\} \cup\{(y_1,0)\}
[/mm]
Sei z [mm] \in U\cap [/mm] V:
3 [mm] \epsilon =d((x_1,0),(y_1,0))=d((x_1, \epsilon), (y_1, \epsilon)) \le [/mm] d(z, [mm] (x_1, \epsilon)) [/mm] + d(z, [mm] (y_1, \epsilon)) \le [/mm] 2 [mm] \epsilon \ightarrow [/mm] Widerspruch
Eine Umgebungsbasis ist insbesondere eine Umgebung und enthält jeweils eine offene Menge die x bzw. y enthält.
Aus [mm] T_2 [/mm] folgt [mm] T_1.
[/mm]
3) Ang [mm] x_2 [/mm] =0, [mm] y_2 [/mm] > 0
Dann wähle ich [mm] \epsilon:= \frac{d((x_1, y_2), (y_1, y_2))}{3}
[/mm]
[mm] U:=\{B_{\epsilon}(x_1, \epsilon))\} \cup\{(x_1, 0)\}
[/mm]
[mm] V:=\{B_{\epsilon}(y_1, y_2))\} [/mm]
Sei z [mm] \in U\cap [/mm] V:
3 [mm] \epsilon =d((x_1,y_2),(y_1,y_2))
[mm] T_3: \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] A abgeschlossen mit x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \exists [/mm] U,V offen: U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not= \emptyset: [/mm] x [mm] \in [/mm] U, A [mm] \subseteq [/mm] V
Sei A abgeschlossen [mm] \Rightarrow \mathbb{R} \setminus [/mm] A offen
Nach Proposition: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \mathbb{R}\setminus [/mm] A [mm] \exists [/mm] Q [mm] \in \mathcal{W}_y: [/mm] y [mm] \in [/mm] Q [mm] \subseteq \mathbb{R}\setminus [/mm] A
Sei x [mm] \not\in [/mm] A, nach obigen [mm] \exists [/mm] S [mm] \in \mathcal{W}_x: [/mm] x [mm] \in [/mm] S [mm] \subseteq \mathbb{R} \setminus [/mm] A.
Da S ein Element einer Umgebungsbasis von x ist existiert eine offene Menge O: x [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq [/mm] S
Ich würde gerne ausnutzten(schon gezeigt):
1) dass [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] mit der Standarttop als metrischen Raum sicher [mm] T_3 [/mm] ist.
2) Niemitzki-Topologie feiner ist als die Eukldische Topologie in der oberen Halbene
Kurze Überlegung war:
Für [mm] A\subseteq \mathhb{R}\times \{0\} \Rightarrow A=\overline{A}\subseteq \overline{\mathbb{R} \times \{0\}} [/mm] = [mm] \mathbb{Q}\times \{0\}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:59 Mi 23.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:55 Sa 26.09.2015 | | Autor: | sissile |
Hat vlt. wer einen Buch-Tipp wo ich einen Beweis dazu finden kann?
LG,
Sissi
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Niemytzki-Raum (folge dem Link).