Nilpotente Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Do 19.12.2013 | | Autor: | Fio |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in M_{3} [/mm] eine nilpotente Matrix, d.h.es gibt ein n [mm] \in [/mm] N mit [mm] A^{n} [/mm] = 0. Hier sei [mm] A^{3} [/mm] = 0 und [mm] A^{2} \not= [/mm] 0.
Zeigen Sie, dass A dann ähnlich zu:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
ist.
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
- Zeigen Sie, es gibt einen Vektor v [mm] \in \IC^{3}, [/mm] sodass v, A*v und [mm] A^{2}*v [/mm] ungleich Null sind
- Zeigen Sie, dass für dieses v die Vektoren v, Av und [mm] A^{2}v [/mm] linear unabhängig sind und ein Basis von [mm] \IC^{3} [/mm] bilden
-Stellen Sie die Abbildung [mm] \phi_{A} [/mm] in einer Basis B' dar, welche aus B durch vertauschen der Verktoren entstehnt. |
Hi!
bin neu hier und hab gleich mal ne Aufgabe...
Ich weiß (habe dies allerdings noch nicht bewiesen), dass nilpotente Matrizzen ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix mit Nullen in der Diagonalen sein müssen. Wenn ich das verwende, kann ich für v, Av und [mm] A^{2}v [/mm] Vektoren aufstellen:
v = [mm] \vektor{V1 \\ V2 \\ V3}, [/mm] Av = [mm] \vektor{V2*a_{1,2} + V3*a_{1,3} \\ V3*a_{2,3} \\ 0}, A^{2}v [/mm] = [mm] \vektor{V3*a_{1,2}*a_{2,3} \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Dass sie linear unabhängig sind ist mir auch klar. Allerdings weiß ich nicht was mit dem letzten Hinweis gemeint ist und inwiefern das mir weiterhilft.
Außerdem weiß ich nicht wie ich beweisen soll, dass meine Matrix die Form
A = [mm] \pmat{ 0 & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & 0 & a_{2,3} \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
hat und ob ich das benutzen kann...
vielen Dank schonmal,
lg F.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Fr 20.12.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Nimm an, für jedes v [mm] \in \IC^3 [/mm] wäre Av=0 oder $A^2v=0.$
Ist Av=0, so ist auch $A^2v=0.$
Also hätten wir: $A^2v=0$ für alle v [mm] \in \IC^3. [/mm] Kann das sein ?
2. Sei also v so, dass Av [mm] \ne [/mm] 0 und $A^2v [mm] \ne [/mm] 0$. Seien a,b,c [mm] \in \IC [/mm] und
$0=av+bAv+cA^2v$
Wende auf diese Gl mal [mm] A^2 [/mm] an. Dann solltest Du sehen: a=0.
Zeige weiter: b=c=0.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Fio |
Wie kann ich auf die Gleichung [mm] A^{2} [/mm] anwenden?
Wieso soll ich das machen können?
Und aus [mm] A^{2} \not= [/mm] 0 folgt doch dass [mm] A^{2}*v [/mm] = 0 nicht für jedes v gelten kann, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Fr 20.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wie kann ich auf die Gleichung [mm]A^{2}[/mm] anwenden?
> Wieso soll ich das machen können?
Wir haben
$ 0=av+bAv+cA^2v $
Dann folgt:
$ [mm] 0=A^20=A^2(av+bAv+cA^2v)= [/mm] aA^2v+bA^3v+cA^4v=aA^2v $.
Da $A^2v [mm] \ne [/mm] 0$ folgt a=0.
>
> Und aus [mm]A^{2} \not=[/mm] 0 folgt doch dass [mm]A^{2}*v[/mm] = 0 nicht
> für jedes v gelten kann, oder?
So ist es.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Fio |
Okay stimmt, das hab ich gar nicht gesehen -.-
Dann sind v, Av und [mm] a^{2}v [/mm] also eine Basis... aber was bringt mir das?
V steht ja gar nicht in meiner Matrix die ich durch diese Basis darstellen will...?
Blick da irgendwie nicht richtig durch...
|
|
|
| |
|
> Okay stimmt, das hab ich gar nicht gesehen -.-
> Dann sind v, Av und [mm]a^{2}v[/mm] also eine Basis... aber was
> bringt mir das?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Gebracht wird Dir heute nix - der Weihnachtsmann kommt erst in ein paar Tagen.
Du mußt schon selbst etwas daraus machen...
A ist Darstellungsmatrix der Abbildung mit f(x):=Ax.
Du könntest nun mal ausrechnen, wie die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis (v, Av, A^2v) aussieht.
- und wenn das noch nicht ganz das Gewünschte ist, könntest Du dem Tip mit dem Vertauschen der Vektoren folgen...
Weißt Du denn, wie man Darstellungsmatrizen bzgl. einer vorgegebenen Basis bekommt?
Wenn nein: lies Dich schlau!
LG Angela
> V steht ja gar nicht in meiner Matrix die ich durch diese
> Basis darstellen will...?
>
> Blick da irgendwie nicht richtig durch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Fio |
Okay... dann schau ich mir das nochmal an.
Ich weiß zwar wie ein Basiswechsel geht, wusste aber nicht, wie ich v, Av, [mm] A^{2}v [/mm] aufschreiben kann, ohne ein allgemeines Matrizzenprodukt dort stehen zu haben... die einzelenen Einträge werden dann ja zu sehr umständlichen Produkt/Summenketten der Einträge von A...
|
|
|
| |
|
> Okay... dann schau ich mir das nochmal an.
> Ich weiß zwar wie ein Basiswechsel geht, wusste aber
> nicht, wie ich v, Av, [mm]A^{2}v[/mm] aufschreiben kann, ohne ein
> allgemeines Matrizzenprodukt dort stehen zu haben... die
> einzelenen Einträge werden dann ja zu sehr umständlichen
> Produkt/Summenketten der Einträge von A...
Hallo,
mit [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] machst Du's Dir unnötig schwer.
Wir haben ja die Basis B:=(v, Av, A^2v).
Nun arbeite mit Koordinatenvektoren bzgl dieser Basis.
Du brauchst für die Darstellungsmatrix bzgl B die Bilder der Basisvektoren, also
Av, A*(Av) und a*(A^2v).
Es ist das Bild von v
[mm] Av=0*v+1*Av+0*A^2v=\vektor{0\\1\\0}_{(B)}.
[/mm]
Entsprechend die anderen.
Du wirst sehen, daß das noch nicht die gewünschte Matrix ist, aber eine neue Basis B' mit umsortierten Vektoren hilft...
LG Angela
|
|
|
|
