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| Aufgabe | (a) A,B [mm] \in [/mm] M(n x n,K) sind nilpotente Matrizen und es gilt AB=BA. Mit diesen Bedingungen ist auch A + B nilpotent.
(b) Die Umkehrung ist falsch: A + B kann nilpotent sein, selbst wenn [mm] AB \neq BA [/mm] gilt.
Geben Sie für jedes [mm] n\geq 2 [/mm] nilpotente Matrizen A,B [mm] \in [/mm] M(n x n,K) an, so dass A + B nicht nilpotent sind.
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Hallo,
also erstmal zu (a). Habe da so einiges gerechnet. Mein Beweis:
Ich zeige zunächst: [mm] \enskip [/mm] Für alle $m [mm] \ge [/mm] 1$ gilt $(A + [mm] B)^m [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k}$. [/mm]
Beweis:
Da [mm] ${{1}\choose{1}} [/mm] = [mm] {{1}\choose{0}} [/mm] = 1$, ist
[mm] \[ [/mm] (A + [mm] B)^1 [/mm] = B + A
= [mm] {{1}\choose{0}} A^0B^1 [/mm] + [mm] {{1}\choose{1}} A^1B^0[/mm] [mm] = \sum_{k=0}^1 {{1}\choose{k}} A^kB^{m-k}[/mm]
Sei $m [mm] \ge [/mm] 1$ und nehme an, dass
$(A + [mm] B)^m [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k}$. [/mm]
Dann ist wegen der Kommutativität der Matrizenmultiplikation:
(A + [mm] B)^{m+1} [/mm] = (A+B)(A + [mm] B)^m [/mm] = [mm] (A+B)\sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} (A+B)A^kB^{m-k}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} (AA^kB^{m-k} [/mm] + [mm] BA^kB^{m-k})\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} (A^{k+1}B^{m-k} [/mm] + [mm] A^kB^{m+1-k})\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^{k+1}B^{m-k}
[/mm]
+ [mm] \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m+1-k}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{m+1} {{m}\choose{k-1}} A^kB^{m+1-k}
[/mm]
+ [mm] \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m+1-k}\\
[/mm]
= [mm] A^0B^{m+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{m} \Bigl({{m}\choose{k-1}} [/mm] + [mm] {{m}\choose{k}}\Bigr) A^kB^{m+1-k} [/mm] + [mm] A^{m+1}B^0\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^{m+1} {{m+1}\choose{k}} A^kB^{m+1-k} [/mm]
und daraus folgt durch Induktion nach $m$, dass für alle $m [mm] \ge [/mm] 1$
[mm] \[(A [/mm] + [mm] B)^m [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k}\;
[/mm]
Kann man diesen Beweis so führen?
Damit kann ich dann das eigentliche Beweisen:
Da A und B nilpotent sind, gibt es [mm] $p,\,q\ge [/mm] 1$, so dass [mm] $A^p [/mm] = [mm] B^q [/mm] = 0$ und dann ist
[mm] $A^r [/mm] = [mm] B^s [/mm] = 0$ für alle $r [mm] \ge [/mm] p$, $s [mm] \ge [/mm] q$. Setze $m = p + q$; nach s.o. (der vorangegangene Beweis) ist also
[mm]
(A + B)^m &=& \sum_{k=0}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k}
= \sum_{k=0}^p {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k} + \sum_{k=p+1}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k}\\
&=& \sum_{k=0}^p {{m}\choose{k}} A^kB^{q + p - k} + \sum_{k=p+1}^m {{m}\choose{k}} A^kB^{m-k}\\
&=& \sum_{k=0}^p {{m}\choose{k}} A^k0 + \sum_{k=p+1}^m {{m}\choose{k}} 0 B^{m-k} = 0
[/mm]
und daher ist $A + B$ nilpotent.
Das wäre mein Teil zu (a). Ist dabei die Bedingung AB=BA überhaupt ausreichend eingegangen. Ich habe sie nur im Beweis des Lemmas benutzt. Stimmt der eigentliche Beweis überhaupt? Und kann man das vielleicht noch viel kürzer und übersichtlicher machen? (Oder muss man sogar noch etwas ergänzen?)
Zu (b): Man muss also zeigen: Wenn die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, ist die Summe der Matrizen nicht nilpotent. Aber wie? Ich weiß nur, dass ich dann doch praktisch den binomischen Lehrsatz (wie bei a) hier nicht verwenden kann oder?
Wie komme ich dann auf die Matrizen für n>1, so dass A + B nicht nilpotent ist?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Fr 17.04.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> (a) A,B [mm]\in[/mm] M(n x n,K) sind nilpotente Matrizen und es gilt
> AB=BA. Mit diesen Bedingungen ist auch A + B nilpotent.
>
> (b) Die Umkehrung ist falsch: A + B kann nilpotent sein,
> selbst wenn [mm]AB \neq BA[/mm] gilt.
> Geben Sie für jedes [mm]n\geq 2[/mm] nilpotente Matrizen A,B [mm]\in[/mm]
> M(n x n,K) an, so dass A + B nicht nilpotent sind.
(a) sieht gut aus
> Zu (b): Man muss also zeigen: Wenn die
> Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, ist die Summe
> der Matrizen nicht nilpotent. Aber wie? Ich weiß nur, dass
> ich dann doch praktisch den binomischen Lehrsatz (wie bei
> a) hier nicht verwenden kann oder?
> Wie komme ich dann auf die Matrizen für n>1, so dass A + B
> nicht nilpotent ist?
Wie sehen denn die nilpotenten 2x2-Matrizen aus? Jetzt brauchst du 2 davon, die nicht miteinander kommutieren (weil sonst ja die Voraussetzungen von (a) erfüllt wären). Die sind aber einfach zu finden! Und dann müßtest du dir noch überlegen, wie du dieses (Gegen-)Beispiel auf nxn-Matrizen erweitern kannst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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