Nilpotenter Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mi 06.07.2016 | | Autor: | Fjury |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ein nilpotenter Endomorphismus hat Null als einzigen Eigenwert. |
Hi,
nach langem googlen habe ich immer noch keine geeignete Erklärung für mich bekommen, was ein nilpotenter Endomorphismus ist. Nur einen solchen Beweis, mit dem ich jedoch wenig anfangen kann.
Mit [mm] \delta [/mm] (phi) wird der Endomorphismus des Standardraumes [mm] K^n [/mm] bezeichnet, für den [mm] M(\delta)=A [/mm] ist.
[mm] (U_{0},U_{1},...U_{n}) [/mm] sei die Fahne, die durch die kanonische Basis definiert wird, [mm] U_{i}=K*e_{1}+...K*e_{i}
[/mm]
für i = 1,...,n sowie [mm] U_{i} [/mm] :=0 für [mm] i\le [/mm] 0.Dann ist [mm] \delta(e_{i}) [/mm] Linearkombination der Vektoren [mm] e_{1},...,e_{i-1}, [/mm] d.h. [mm] \delta(U_{i}\subseteq U_{i-1}.
[/mm]
Iduktiv folgt leicht [mm] \delta^i (U_{i}) \subseteq U_{i-j} [/mm] (i [mm] \le [/mm] n, j [mm] \ge [/mm] 1). Wir erhalten daher [mm] \delta^n [/mm] (V) = [mm] \destla^n (U_{n}) \subseteq U_{o} [/mm] = 0, d.h. [mm] \delta^n [/mm] ist
die Nullabbildung, also [mm] A^n [/mm] = [mm] M(\delta^n) [/mm] =0
Ich hoffe hier finden sich ein paar, die einem das anschaulich erklären können ;)
Gruß Adrian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hiho,
bevor du dir irgendwelche Beweise im Internet anschaust, solltest du vielleicht erst einmal Begrifflichkeiten klären:
1.) Was ist ein Endomorphismus?
2.) Wann ist eine Abbildung nilpotent?
3.) Was ist ein Eigenwert?
Dann können wir weitersehen…
edit: Ihr hattet die Begriffe garantiert alle in der Vorlesung, sonst würdet ihr die Aufgabe nicht gestellt bekommen. D.h. für dich: Nachschlagen!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 06.07.2016 | | Autor: | Fjury |
Ja das stimmt natürlich, hatten wir und sowohl Eigenwert (Berechnung fürs charakteristische Polynom, dass ich soweit kann), sowie Endomorphismus hatten wir. Soweit komm ich klar,
so nun aber nilpotent -> hier scheiter ich an der Verständlichkeit, was eine potenzierte Matrix ist, bzw. wie eine solche Auszusehen hat.
Gruß Adrian
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Hiho,
> Ja das stimmt natürlich, hatten wir und sowohl Eigenwert
> (Berechnung fürs charakteristische Polynom, dass ich
> soweit kann), sowie Endomorphismus hatten wir. Soweit komm
> ich klar
Na dann schreibe doch mal die Definitionen dafür hin!
> so nun aber nilpotent -> hier scheiter ich an der
> Verständlichkeit, was eine potenzierte Matrix ist, bzw. wie eine solche Auszusehen hat.
Nilpotent hat erstmal nur am Rande was mit Matrizen zu tun.
Das brauchst du hier also gar nicht… wie habt ihr nilpotent denn definiert? Auch da: Nachschlagen.
Aber um dir erstmal deine Frage zu beantworten (auch wenn du hier das gar nicht brauchst), für Matrizen gilt dasselbe wie für Zahlen:
[mm] $A^n [/mm] = [mm] \underbrace{A\cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{\text{n-Mal}}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Do 07.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Sei V ein K - Vektorraum und T:V [mm] \to [/mm] V linear (also ein Endomorphismus).
Ist n [mm] \in \IN [/mm] , so bezeichne [mm] T^n [/mm] die n-fache Hintereinanderausführung von T, also
[mm] $T^2=T \circ [/mm] T, [mm] \quad T^3=T \circ [/mm] T [mm] \circ [/mm] T, .....$.
Zusatz: [mm] T^0:=id_V.
[/mm]
T heißt nilpotent, wenn es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt mit [mm] T^n=0.
[/mm]
Zeige zunächst: ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von T und ist k [mm] \in \IN, [/mm] so ist [mm] \lambda^k [/mm] ein Eigenwert von [mm] T^k.
[/mm]
Kommst Du nun klar ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Fr 08.07.2016 | | Autor: | Fjury |
Ja danke dir ;). Ich brauch keine schwierigen Umschweifungen um etwas, dass ich mir schon oft angeschaut habe und nicht verstanden habe, sondern einfach nur eine einfach Erklärung ^^.
Kann also geschlossen werden
Gruß
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Nehmen wir an, dass [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert der Matrix A ist. Dann gibt es ein [mm] \vec{x} \ne [/mm] 0 mit [mm] A*\vec{x}= \lambda*\vec{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (A*A)*\vec{x}=A*(A*\vec{x})= A*(\lambda*\vec{x})=\lambda*(A*\vec{x})=\lambda*(\lambda*\vec{x})=\lambda^2*\vec{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (A*A*A)*\vec{x}=A*(A*A*\vec{x})= A*(\lambda^2*\vec{x})=\lambda^2*(A*\vec{x})=\lambda^2*(\lambda*\vec{x})=\lambda^3*\vec{x}
[/mm]
usw. bis
[mm] \Rightarrow (A^n)*\vec{x}=\lambda^n*\vec{x}
[/mm]
Aber: Da A nilpotent ist (mit [mm] A^n=0), [/mm] ist nun [mm] 0*\vec{x}=\lambda^n*\vec{x} [/mm] mit [mm] \vec{x} \ne [/mm] 0 und daher [mm] \lambda^n=0, [/mm] also [mm] \lambda=0.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Fr 08.07.2016 | | Autor: | Fjury |
Wow, präzise und sehr sehr verständlich danke ^^.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Fr 08.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ja danke dir ;). Ich brauch keine schwierigen
> Umschweifungen um etwas, dass ich mir schon oft angeschaut
> habe und nicht verstanden habe, sondern einfach nur eine
> einfach Erklärung ^^.
was soll das denn ??
fred
>
> Kann also geschlossen werden
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Sa 09.07.2016 | | Autor: | Fjury |
Damit meinte ich, dass ich die Erklärung von Gonzo nicht verstanden habe und deine Erklärung, gut fand.
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